и . Рынки и рыночная власть, теория организации промышленности (стр. 8 )

6.7.2.2. Уравнения динамического программирования

Для упрощения системы обозначений найдем необходимые и достаточные условия, соответствующие симметричному равновесию, т. е. условиям, при которых R1 = R2 = R. Следовательно, мы больше не будем обозначать переменные индексами фирм. Предположим, что существует конечное число возможных цен ph. R будет рассматриваться как цепь Маркова. Это означает, что существует конечное число возможных состояний, где состояние относится к цене, на которой в настоящее время настаивает одна из фирм. Функция реакции определяет переход из текущего состояния в новое состояние, которое представляет цену, выбранную другой фирмой в ответ на текущее состояние. Пусть αhk > 0 будет переходной вероятностью того, что фирма (1 или 2) реагирует на цену ph назначением цены рk:

И наконец, пусть П(pk, ph) будет одномоментной прибылью фирмы (1 или 2), если ее цена составляет pk, а цена конкурента – рh.

Введем оценочные функции динамического программирования. Vh – дисконтированная
ценность прибыли фирмы, которая выбирает свою цену, когда другая фирма выбрала цену ph на предыдущем шаге. Дисконтированную ценность прибыли второй фирмы обозначим через Wh. Используя наши обозначения, получим

Это дает следующую систему уравнений:

(6.17)

αhk ≥ 0

В двух первых уравнениях просто используются определения функций V и W. Третье уравнение – отношение дополняющей нежесткости. Для того чтобы цена pk стала оптимальной реакцией на цену рh, в примере на максимизацию, связанную с первым уравнением (αhk > 0), дисконтированная ценность, соответствующая pk, П(pk, рh )+ δ Wk должна достигать максимума Vh, по pk.

Система уравнений (6.17) имеет {Vh, Wk, αhk} в качестве неизвестных. Нас интересуют только αhk, которые определяют функцию реакции. (Математически эта система называется дополнительной билинейной задачей.)

Чтобы проверить, образуют ли равновесие стратегии ломаной кривой спроса из подраздела 6.4.1, достаточно вычислить Vh, и Wh для всех h из числа предполагаемых стратегий и проверить, выполняются ли уравнения (6.17).

Упражнение 6.10(**). Вычислите оценочные функции для стратегий, приведенных в подразделе 6.4.1, вычислите а и проверьте, находятся ли стратегии в равновесии для δ, близкой к 1.

6.7.2.3. Прибыли, отличные от нуля

В тексте утверждалось, что прибыли не могут быть близки к конкурентной прибыли при абсолютном равновесии по Маркову. Покажем, что при симметричном равновесии средняя попериодная прибыль отрасли должна превышать П(рт)/2 (где П(р) ≡ (р – c)D(p}) для δ, близкой к 1. (В принципе, аналогичное доказательство показывает, что даже при асимметричном равновесии хотя бы одна фирма должна получать среднюю прибыль не меньше П(рm)/4.)

Пусть V(p) и W(p) обозначают настоящую дисконтированную ценность прибылей фирмы, когда наступает ее очередь выбирать свою цену, и ее соперника. Ценовая сетка предполагается дискретной* с шагом k, где k мало (например, цены измеряются в центах). Допустим, что рт обозначает монопольную цену, и рассмотрим цену рт + k. Пусть р* будет наименьшей ценой, которая решает задачу

Тогда реакция фирмы на рm + k будет не меньше р* .

* Причина для применения дискретной ценовой сетки является чисто технической. Даже в статических условиях оптимальная реакция фирмы на цену соперника не определена полностью для совершенных заменителей и непрерывной ценовой сетки (так как фирма в общем случае хотела бы максимально приблизиться к цене конкурента, оставаясь строго ниже этой цены).

Случай а: р* ≥ рт.

В этом случае, начиная с любой цены, выигрыш каждой фирмы в игре составляет по крайней мере

δ2[П(pm – k) ≥ δW(pm – k)],

поскольку она могла бы поднять свою цену до pm + k и затем, после реакции конкурента (которая превышает рт), снизить ее до рт – k. По той же причине имеем

W(pm – k) ≥ δ 3[П(pm – k) + δW(pm – k)].

Таким образом,

и, следовательно,

Таким образом, межвременная прибыль каждой фирмы составляет по крайней мере

когда она назначает цену, и по крайней мере в δ раз большую этой величины, когда она выбрала цену в последнем периоде. Для δ, близкой к 1, эта прибыль составляет по крайней мере

что эквивалентно попериодной прибыли

близкой к

для хорошей ценовой сетки,

Случай б: р* < рт.

В этом случае имеем

П(р*) + δW(p*) ≥ П(рm) + δW(pm).

С другой стороны,

W(pm) ≥ δ+δ2W(p*).

Последнее неравенство выполняется, так как фирма, связанная обязательством поддерживать цену рт, в худшем случае может снизить цену до р* или отреагировать на р* назначением той же цены р* . Если ее соперник назначает цену р > р* , фирма, снижая цену до р* , по крайней мере получает прибыль

δП(p*) + δ2W(p*)

Умножая первое неравенство на δ и складывая два неравенства, получаем

Исходя из определения монопольной цены, получаем

для δ, близкой к 1. Таким образом, вновь средняя величина прибыли одной фирмы за один шаг превышает 1/4 монопольной прибыли.

Можно показать далее, что при равновесии ломаной кривой спроса по-периодная прибыль каждой фирмы превышает 4/7П(pm) для δ, близкой к 1. Напротив, множество фокальных цен (устойчивых состояний при некотором равновесии ломаной кривой спроса) есть в точности набор цен р, меньших pm, таких что П(р) ≥ 4/7П(pm), и больших pm, таких что П(р) ≥ 2/3П(pm). Таким образом, даже если приблизительно конкурентного равновесия не существует, имеется большое число равновесий.

6.7.2.4. Равновесие, защищенное от пересмотра условий

Пусть р обозначает цену ниже pm, такую что

(где, как и прежде, k – шаг ценовой сетки). Заметим, что для δ, близкой к 1,

и рассмотрим следующую симметричную функцию реакции:

если p < p < pm

в противном случае

Упражнение 6.11(**). Покажите, что (R*, R*) образует абсолютное равновесие по Маркову для δ, близкой к 1.

Оказывается, что (R*,R*) – единственная пара равновесных функций реакции, которая дает среднюю отраслевую прибыль, близкую к П(pm) для δ, близкой к 1 (см. [52]). Из этого свойства тривиально следует, что это единственное симметричное равновесие, защищенное от пересмотра, при δ, близкой к 1. (Оно защищено от пересмотра, так как любое другое равновесие дает меньшую совокупную прибыль, а следовательно, и меньшую прибыль, по крайней мере, для одной из фирм; более того, начиная с любой цены, любое другое симметричное абсолютное равновесие по Маркову дает меньшую, чем эта, прибыль обеим фирмам, которые по этой причине будут иметь стимул к «пересмотру условий», чтобы перейти к этому равновесию.)

6.7.3. Народные теоремы

В данном подразделе мы напомним существующие версии народной теоремы.

6.7.3.1. Бесконечно повторяющиеся игры с полной информацией

Рассмотрим «статическую» игру n лиц, определенную пространствами стратегий Аi для каждого игрока i = 1, . . . ,n и функциями выигрышей Пm(a, аi, . . . ,аn) для каждого игрока i, где aj принадлежит Aj. Для простоты предположим, что множество чистых стратегий конечно (например, в ценовой игре цены должны быть приведены в центах, быть неотрицательными и ограниченными сверху большим числом). Мы не проводим различия между чистыми и смешанными стратегиями, поэтому можем рассматривать aj как множество распределений вероятностей (смешанных стратегий) на пространстве чистых стратегий, доступных игроку i. (Технически удобно предположить и то, что игроки могут применять зависимые стратегии, т. е. они могут поставить свои стратегии в зависимость от исхода общественного рандомизирую-щего механизма; однако эту возможность мы здесь не будем учитывать.) Эта статическая игра часто называется «избирательной игрой». Мы будем использовать обозначение

a-i = (a, аi-1, аi,аn)

и Пi(ai, а-i ) для прибыли i-го игрока.

Определим отправную полезность игрока i как наихудший исход для игрока i в этой игре:

Предвидя действия а-i соперников, игрок i максимизирует Пi (ai, а-i ) в статических условиях. Очевидно, что i-й игрок не может получить меньше, чем Пi* в избирательной игре (либо меньше, чем Пi* «в среднем», если избирательная игра будет повторяться во времени).

Вектор выигрыша П = (П1, . . . , Пi, . . . , Пn ) индивидуально рационален, если Пi > Пi* для всех i. Он допустим, если существуют допустимые стратегии a = (a, аi, . . . ,аn) , такие что Пi = Пi(а) для всех i.

Например, в ценовой игре Бертрана или в количественной игре Курно индивидуально рациональные прибыли равны нулю. (Невозможно принудить фирмы получать отрицательную прибыль; с другой стороны, назначение оппонентами нулевой цены или производство ими количеств продукции, которые вызывают падение цены ниже предельных затрат, препятствуют получению прибыли). Легко проверить, что допустим любой набор прибылей, сумма которых не превышает монопольную прибыль.

Рассмотрим бесконечно повторяющуюся версию избирательной игры. Пусть δ – коэффициент дисконтирования. Тогда игрок i получит выигрыш

и средний выигрыш составит

vi = (1 – δ)Vi,

где ai(t) – альтернатива, выбранная игроком i в момент t (которая является функцией предыстории).

Наша первая народная теорема восходит к [38]. Она утверждает, что любой средний вектор выигрыша, который лучше для всех игроков, чем вектор выигрыша при равновесии по Нэшу в избирательной игре, может поддерживаться как исход абсолютного равновесия бесконечно повторяющейся игры, если игроки достаточно терпеливы. Точнее, пусть

*

* Это означает, что Пi() ≥ Пi() для всех i и а, из Ai.

и пусть v = (v1,...,vn) такое, что v допустимо и vi > ПiN для всех i. Тогда существует такое δ0 < 1, что для всех δ ≥ δ0 вектор v является равновесным вектором выигрыша.

Доказательство этой народной теоремы в основном такое же, как и приведенное в основном тексте. Для простоты изложения предположим, что существуют чистые стратегии a = (a,аn), такие что vi = Пi(a,аn) для всех i. Определим следующие виды поведения. Каждый игрок применяет стратегию ai если все игроки раньше придерживались стратегий из a. Если кто-либо отклонился от данной стратегии в прошлом, игрок применяет стратегию. Таким образом, сговор относительно а реализуется посредством угроз Нэша, т. е. угроз возвращения к поведению Нэша навсегда. При отклонении в данный момент игрок получает в лучшем случае ограниченную сумму; с другой стороны, в этом случае он теряет выгоду от будущего сотрудничества

(vi – ПiN)( δ + δ2 + ...),

которая стремится к бесконечности, когда δ стремится к 1.

Для игры Бертрана (которая потенциально является одним из наиболее интересных применений теории длительного повторяющегося взаимодействия, так как цены фиксируются на короткие промежутки времени) эта теорема дает полное описание множества равновесий для δ, близкой к 1. Это объясняется тем, что, если фирмы имеют одинаковые предельные затраты, равновесие по Нэшу в избирательной игре дает нулевые прибыли и, таким образом, отправные выигрыши. Предыдущая теорема тогда показывает, что все индивидуально рациональные и допустимые выигрыши являются равновесными выигрышами для δ, близкой к 1. Для других составных игр (например, конкуренция по Курно) точки Нэша не дают отправных значений (см. рис. 6.4).

Рис. 6.4. Угрозы Нэша.

В играх, где равновесия по Нэшу лежат выше отправных значений, возникает вопрос, возможно ли реализовать другие равновесные векторы выигрышей помимо тех, которые были указаны в предыдущей теореме. Ответ состоит в том, что каждый индивидуально рациональный и допустимый вектор выигрышей может быть реализован при абсолютном равновесии. Ауман и Шэпли [11] и Рубинстайн [70] показывают это в случае δ =1.* Интуитивное предположение о том, почему любые выигрыши выше отправных значений могут поддерживаться, состоит в следующем: «...если ни один из игроков раньше не отклонялся, игроки продолжают применять свои стратегии ai приводящие к выигрышу vl. Если какой-то игрок j отклоняется, он будет, как и прежде, минимаксимизирован, но не навсегда, а лишь на период, необходимый для аннулирования любой возможной выгоды, полученной им в результате этого отклонения. После такого наказания игроки возвращаются к своим стратегиям аi. Выполнить минимаксимизацию наказывающих заставляет угроза того, что, если любой из них уклонится от своей стратегии наказания, он в свою очередь будет минимаксимизирован другими на такое время, что это отклонение не будет иметь смысла. Более того, игроки, наказывающие его, будут наказаны, если любой из них отклонится от данного курса, и т. д. Таким образом, существует потенциальная последовательность наказаний с последующим повышением их уровня, где наказание на каждом уровне приводится в исполнение из страха, что последует наказание на следующем уровне» [42, р. 538]. Фьюденберг и Мэскин показали, что при слабом условии регулярности полунепрерывность снизу имеет место при δ = 1. Все индивидуально рациональные и допустимые выигрыши могут поддерживаться в абсолютном равновесии для δ, достаточно близкой к 1.

* Без дисконтирования сумма выигрышей некоторого игрока во времени не может быть определена (может быть бесконечна). В таком случае можно использовать либо предел (инфимум) средней величины выигрыша

когда Т стремится к бесконечности, либо так называемый «критерий обгона» (см. [70]). 120

6.7.3.2. Конечно повторяющиеся игры при полной информации с множеством равновесий в составной игре

В тексте мы видели, что даже при большой продолжительности сговор не может поддерживаться в ценовой игре Бертрана, повторяющейся конечное число раз (или в «дилемме заключенного»). Однако когда избирательная игра имеет несколько равновесий по Нэшу, то возможно продолжать игру с различными равновесиями по Нэшу и получать качественно отличные (от Нэша) равновесия в повторяющейся версии игры. Это иллюстрируется в таблице 6.3. для избирательной игры (игра с координацией). Эта игра имеет два равновесия по Нэшу в чистых стратегиях: (U, L) и (D, R). Предположим, что игра повторяется три раза и что здесь нет дисконтирования. Тогда (D, L), приносящая нулевой выигрыш обоим игрокам на первом шаге, может поддерживаться в этом шаге обещанием координации на (U, L) на двух последующих шагах, если оба игрока подчиняются правилам, и угрозой координации на (D, R) на двух последующих шагах, если кто-либо из игроков уклоняется на первом шаге. Поскольку

5 + 1 +1 < 0 + 5 +5,

(D, L) может поддерживаться на первом шаге.

Таблица 6.3

Игрок 2

Игрок 1

L

R

U

5, 5

0, 0

D

0, 0

1, 1

Бенуа и Кришна [20] показывают, что при некоторых условиях набор равновесий повторяющейся игры с множеством равновесий в избирательной игре приближается к набору индивидуально рациональных и допустимых исходов.

6.7.3.3. Конечно повторяющиеся игры с неполной информацией

Здесь мы рассмотрим обобщение модели, представленной в подразделе 6.5.1. Рассмотрим конечно повторяющуюся игру, в которой игрок i с вероятностью 1 – α разумен и охарактеризован пространством стратегий Ai при выигрыше Пi(a,аn) на каждом шаге, а с вероятностью α игрок i безумен. (Выбор предпочтений или стратегий игрока оставлен на усмотрение создателя модели – см. ниже.)

Фьюденберг и Мэскин [42] показали, что при слабом условии народная теорема применима в том смысле, что любой индивидуально рациональный и допустимый вектор выигрыша избирательной игры (для разумных игроков) может поддерживаться как совершенное байесовское равновесие конечно повторяющейся игры для сколь угодно малой вероятности α, когда продолжительность игры достаточно велика, а коэффициент дисконтирования достаточно близок к 1 .

Доказательство того, что любой выигрыш, превышающий выигрыш Нэша, может поддерживаться, как обычно, просто (см. также подраздел 6.5.1). Опишем его в общих чертах. Пусть aN = – равновесие по Нэшу избирательной игры, где игроки разумны с вероятностью 1. Обозначим через ПiN соответствующие выигрыши, и пусть

vi = Пi(a,аn) > ПiN

Предположим, что безумный игрок i придерживается стратегии ai, если все игроки придерживались этой стратегии в прошлом, и, если кто-либо отклонился в прошлом. Выигрыш от отклонения на одном шаге для разумного игрока ограничен сверху. В то же время будущие потери от сотрудничества с безумными игроками составляют αn-1(vi–ПiN)T, если Т – продолжительность игры и если (для простоты) не существует дисконтирования (δ – 1). Эти потери стремятся к бесконечности, когда Т стремится к бесконечности. Следовательно, при Т > Т0 отклонение от ai не может быть оптимальным для игрока i, даже если он разумен. В общем случае сговор, основанный на а, поддерживается по крайней мере Т – Т0 шагов, а это означает, что средняя величина выигрыша для разумного игрока i стремится к vi, когда Т стремится к бесконечности.

Как обычно, это доказательство дает полную народную теорему для игры Бертрана. Для более общих игр доказательство народной теоремы более сложно; см. [42].

Ответы и указания

Упражнение 6.1*

* Это упражнение взято из работ Бишопа [23] и Шмалензи [74].

1. Пусть Фi(р) ≡ (p – ci)D(p). Заметим, что Фi (по предположению) вогнутая, возрастает до монопольной цены и затем убывает. После подстановки si получаем:

Условие первого порядка:

Это означает, что и имеют противоположные знаки. Поскольку < , имеем ≤ 0 ≤ и ≤ р ≤ . Производная второго порядка целевой функции равна

Первые три члена этого выражения отрицательны. Четвертый член отрицателен, когда выполняется условие первого порядка. Следовательно, целевая функция квазивогнутая, и мы получаем оптимум.

2. Это очевидно.

3. Возьмите производную от условия первого порядка по р и. Если записать

s2 =

и взять производную, будет ясно, что s2 – возрастающая функция р и, следовательно, . Когда целевая прибыль фирмы 2 равна нулю, максимальная прибыль фирмы 1 составляет монопольную и получается при р = pm(c1) и s2 = 0. Наоборот, чтобы получить = (с2), цена должна быть р = рm(с2) и фирма 2 должна обслуживать весь рынок. В общем случае существует компромисс между совокупной эффективностью (при р = pm(c1) и s2 = 0) и распределением прибылей. Чем выше целевая прибыль для фирмы 2, тем выше рыночная цена и тем выше рыночная доля фирмы 2 (рис. 6.5).

Рис. 6.5. Эффективные распределения рыночных долей.

4. В силу теоремы об огибающей

Используя цепное правило, получим

так как

а в силу вопроса 3

Шмалензи [74] использует аксиоматическую теорию «переговоров», чтобы выбрать точку на этой выпуклой Парето-границе. Он отмечает, что, если преимущество в затратах ведущей фирмы существенно, ее возможные выгоды от сговора относительно невелики. (В крайнем случае, если монопольная цена фирмы с низкими затратами ниже предельных затрат соперника, фирма с низкими затратами не сможет получить выгоду от поддержания сговора.)

5..Из вопроса 4 следует, что наше «эффективное распределение рыночных долей» оптимально только в классе детерминированных распределений. Фирмы могли бы получить более высокие ожидаемые выигрыши с помощью «подбрасывания монеты» для того, чтобы решить, кто будет монополистом. Более формально – фирмы могли бы достигнуть любой точки на прямой линии между А и В на рис. 6.5, позволив одной из них стать монополистом в зависимости от реализации случайной переменной. Альтернативно – в контексте повторяющейся игры с небольшим нетерпением (так что целевая функция фирм приблизительно равна средней величине их прибыли – см. раздел 6.3) – фирмы могли бы по очереди становиться монополистом.

6. Предположим, что фирма 1 продает q1 по цене р1 < р2. При эффективном рационировании остаточный спрос фирмы 2 составляет D(p2) – q1. Эта величина спроса осталась бы неизменной, если бы фирма 1 повысила цену. Следовательно, фирма 1 могла бы и впредь продавать q1 по цене, превышающей р1, не причиняя ущерба фирме 2.

Упражнение 6.2

Мы ограничимся показом того, что любой выигрыш (П1, П2) может быть аппроксимирован настолько близко, насколько это нужно, при δ, близкой к 1. Выберем цену р в интервале [с, рm], такую, что П(р) = П1 + П2, и пусть П1 ≡ αП(р) и П2 = (1 – α)П(р). Рассмотрим отношение α/(1 – α). Мы знаем, что любое вещественное число может быть аппроксимировано рациональным числом с любой точностью. Пусть т/п – рациональное приближение α/(1 –α). Рассмотрим следующие стратегии: «В течение первых т шагов фирма 1 назначает цену р, а фирма 2 назначает цену, строго превышающую р; в течение последующих п шагов фирма 2 назначает цену р, а фирма 1 назначает цену строго больше р; в течение последующих m шагов наступает очередь фирмы 1 продавать по цене р, и т. д. Если кто-либо отклоняется, фирмы назначают цену, равную предельным затратам навсегда». Очевидно, что такие стратегии образуют равновесие для δ, близкой к 1. Более того, попериодный выигрыш фирмы 1 для δ, близкой к 1, составляет

Упражнение 6.3.*

* Следующее доказательство взято из [22].

Максимально возможная прибыль на каждом шаге одинакова для обеих фирм (так как игра симметрична, множество достижимых прибылей в каждый период также симметрично). Рассмотрим равновесие, в котором фирма 1, скажем, получает на каждом шаге прибыль – ε (где ε – положительно и мало), и рассмотрим такую цену р, что П(р) ≥ – ε, цена р – наименьшая цена, назначенная на некотором шаге t, и на этом шаге фирма 1 получает прибыль s1П(p) ≥ – ε. (Такая цена и шаг должны существовать; в противном случае фирма 1 не смогла бы получить прибыль – ε «в среднем».) В момент t фирме 2 следовало бы отклониться и назначить цену немного ниже, чем р. Таким образом она получила бы прибыль s1П(p)/2 в момент t (так как она захватила бы весь рынок). Однако потери затрат будущего сговора составят самое большее

Достаточно выбрать такое ε, что

чтобы получить противоречие.

Упражнение 6.4.

Монопольная цена может поддерживаться, если

(Левая часть представляет выигрыш от отклонения, правая – долгосрочные потери.) Значит,

Для данного δ это условие выполняется легче, если рынок расширяется. (На интуитивном уровне это означает, что при таких обстоятельствах будущее является более значимым.)

Упражнение 6.5.

Пусть {р* , } – эффективное распределение рыночных долей и пусть

П1*≡D(p*)(p* – c1)

и

П2* = (1 – )D(р*)(р* – с2) –

соответствующие попериодные прибыли. Рассмотрим следующие стратегии: «Каждая фирма i назначает цену р* и производит D(p*), если обе фирмы подчинялись этому правилу в предыдущем периоде. Если кто-либо из них отклонился в прошлом, обе фирмы навсегда возвращаются к поведению Бертрана».

Рассмотрим наиболее прибыльное отклонение от равновесия. Для фирмы 1 оно состоит в снижении цены до монопольной. Таким образом, фирма 1 получает краткосрочную прибыль, равную П1т – П1*, где П1m ≡ max[D(р)(р – c1)]. Долгосрочный убыток составит

где (с2 – c1)D(c2) – прибыль фирмы 1 в равновесии по Бертрану. Таким образом, распределение рыночных долей должно удовлетворять

(1)

Отметим, что для данного δ это выполняется тогда и только тогда, когда П1* превышает некоторый заданный уровень или ≥ s1(δ) > 0, где s1($) определено неравенством (1). (Напомним, что П1* – линейная функция )

Оптимальное отклонение фирмы 2 от р* означает небольшое снижение цены и захват всего рынка (так как р* ≤ рт(с2)). В таком случае она получит краткосрочную прибыль, почти равную D(p*)(P* – c2). Долгосрочный убыток составляет П2*/(1 – δ), так как в равновесии по Бертрану фирма вообще не получает прибыли. Таким образом, мы должны получить

т. е.

или

≤ δ

Следовательно, эффективное распределение рыночных долей может поддерживаться в состоянии равновесия, если s1(δ) ≤ ≤ δ.* А это, естественно, означает, что эффективное соглашение о разделении рынка может поддерживаться только в том случае, если это «не слишком несправедливо» для одной из фирм.

* Такое может и не существовать. Но, как можно проверить, оно существует, если П1* > (с2 – c1)D(c2) и δ достаточно близка к 1.

Как отмечено в разделе 6.2, фирмы могли бы достичь лучшего результата, становясь по очереди монополистами, так как Парето-граница в пространстве выигрышей выпукла. Например, фирма 1 могла бы удовлетворять весь спрос при на четных шагах, а фирма 2 – весь спрос при цене на нечетных шагах. (В случае отклонения фирмы возвратились бы к конкурентному поведению.) Тогда величина прибыли на каждом шаге составила бы приблизительно /2 и /2 соответственно для фирм 1 и 2 при δ, близкой к 1.

Упражнение 6.6

1. В неявном виде коэффициент дисконтирования на рынке 2 составляет δ2 – фирма может отклоняться на двух последовательных шагах, при этом данное отклонение не обнаруживается.

2. Оптимальным отклонением будет начать на рынке 2, затем отклониться на обоих рынках на последующем шаге (отклонение на рынке 1 вызывает наказание на следующем шаге). Таким образом, максимальная выгода от отклонения составит

.

Убыток составит

поскольку отклонение обнаруживается с задержкой на два шага, а прибыли от сговора составят Пт/2 на каждом рынке.

Упражнение 6.7

Публичное установление ценовых котировок уменьшает масштаб взяточничества и фаворитизма. Однако, предоставляя отраслевую информацию о снижении цен, оно может способствовать тому, что фирмы-участницы вступят в тайный сговор. По крайней мере, согласно традиционным представлениям, «было бы довольно трудно найти менее эффективный механизм поощрения открытой и агрессивной конкуренции между (олигополистическими) продавцами» [33] (см. также [73, р. 224]).

В действительности все сложнее. Теория, построенная в этом разделе и в подразделе 6.7.1, предполагает случайный и ненаблюдаемый спрос, тогда как в случае публичных торгов величина спроса обычно известна всем участникам (поэтому фирмы могут узнавать о том, что состоялось снижение цены, наблюдая за тем, кто выигрывает, даже если предложения цены хранятся в тайне). Для оценки этой грани традиционных представлений, по-видимому, понадобится провести дополнительную работу.

Упражнение 6.8

См. раздел 6.7. Для α = 1/4 Т – наименьшее время, такое что 3δ – δТ+1 ≥ 2. Следовательно, чтобы это условие выполнялось для некоторого Т, δ ≥ 2/3. При Т = 1 оно не выполняется, если не выполняется δ = 1.

Упражнение 6.9

См. [44].

Упражнение 6.10

(Все выигрыши умножены на 36.)

V2 =5 + δW1,

Вероятность α такова, что V1 = 2.5 + δW1. (Для каждой из фирм не имеет значения, сохранять ли цену р1 или устанавливать монопольную цену.) Таким образом,

(т. е. α ≈ 4/7 при δ, близкой 1).

Проверка того, образуют ли эти стратегии равновесие, несколько громоздка. В тексте мы видели, что снижение цены от p3 до р2 не принесет прибыли. Давайте просто покажем, что при р2 фирма предпочтет снизить цену до р1 а не возвратиться к монопольной цене. Снижая цену, она получает

а это именно то, что она получила бы при установлении монопольной цены.

Упражнение 6.11

См. [52].

Литература

1. Abreu D. Repeated Games with Discounting: A General Theory and an Application to Oligopoly: Ph. D. Thesis. Dep. of Economics. Princeton Univ., 1983.

2. Abreu D. Extremal Equilibria of Oligopolistic Supergames // Journ. Econ. Theory. Vol. 39. P. 191-225.

3. Abreu D. On the Theory of Infinitely Repeated Games with Discounting // Econometrica. 1987.

4. Abreu D., Pearce D., Stachetti E. Optimal Cartel Equilibria with Imperfect Monitoring // Journ. Econ. Theory. 1985. Vol. 39. P. 251-269.

5. Abreu D., Pearce D., Stachetti E. Toward A Theory of Discounted Repeated Games with Imperfect Monitoring. 1986. (Mimeo).

6. Abreu D., Rubinstein A. The Structure of Nash Equilibria in Repeated Games with Finite Automates. Harvard Univ., 1986. (Mimeo).

7. Alchian A. Uncertainty, Evolution and Economic Theory // Journ. Polit. Econ. 1950. Vol. 58. P. 211-222.

8. Appelbaum E. The Estimation of the Degree of Oligopoly Power // Journ. Econometrics. 1982. Vol. 19. P. 287-299.

9. Arrow K., Beckmann M., Karlin S. The Optimal Expansion of the Capacity of a Firm // Arrow K., Karlin S., Scarf H. Studies of Mathematical Theory of Inventory and Production. Stanford Univ. Press, 1958.

10. Arrow K., Karlin S., Scarf H. Studies of Mathematical Theory of Inventory and Production. Stanford Univ. Press, 1958.

11. Aumann R., Shapley L. Long Term Competition: A Game Theoretic Analysis. 1976. (Mimeo).

12. Aumann R., Sorin S. Bounded Rationality and Cooperation. Jerusalem : Hebrew Univ., 1986. (Mimeo).

13. Axelrod R. Effective Choice in the Prisoner's Dilemma // Journ. Conflict Resolution. 1980.Vol. 24. P. 3-25.

14. Axelrod R. The Emergence of Cooperation among Egoists // Amer. Polit. Sci. Rev. 1981.Vol. 28. P. 1-12.

15. Axelrod R. The Evolution of Cooperation. New York : Basic Books, 1984.

16. Axelrod R.. Hamilton W. The Evolution of Cooperation // Science. 1981. Vol. 211. P. .

17. Bain J. Barriers to New Competition. Cambridge, Mass. : Harvard Univ. Press, 1956.

18. Barm R. A Theory of Monopolistic Price Adjustment // Rev. Econ. Stud. 1972. Vol. 39. P. 17-26.

19. Benabou R. Optimal Price Dynamics and Speculation with a Storable Good: Ph. D. Thesis. Dep. of Economics. Mass. Inst. Technology, 1985.

20. Benoit J.-P., Krishna V. Finitely Repeated Games // Econometrica. 1985. Vol. 53. P. 890-904.

21. Benoit J.-P., Krishna V. Dynamic Duopoly: Prices and Quantities // Rev. Econ. Stud. 1987.Vol. 54. P. 23-36.

22. Bernheim D., Whinston M. Multimarket Contact and Collusive Behavior. Dep. of Economics. Harvard Univ., 1986. (Mimeo).

23. Bishop R. Duopoly: Collusion or Warfare? // Amer. Econ. Rev. 1960. Vol. 50. P. 933-961.

24. Blanchard O. Price Asynchronization and Price Level Inertia // Inflation, Debt and Indexation / R. Dornbusch, M. Simonsen. Cambridge, Mass. : MIT Press, 1983.

25. Bowley A. The Mathematical Groundwork of Economics. Oxford Univ. Press, 1924.

26. Bresnahan T. The Relationship between Price and Marginal Cost in the U. S. Automobile Industry // Journ. Econometrics. 1981. Vol. 17. P. 201-227.

27. Bresnahan petition and Collusion in the American Automobile Industry: The 1955 Price War // Journ. Industr. Econ. 1987. Vol. 35. P. 457-482.

28. Bresnahan T. Empirical Studies of Industries with Market Power // Handbook of Industrial Organization / R. Schmalensee, R. Willig. Amsterdam : North-Holland, 1987.

29. Brock W., Scheinkman J. Price Setting Supergames with Capacity Constraints // Rev. Econ. Stud. 1985. Vol. 52. P. 371-382.

30. Caplin A., Spulber D. Inflation, Menu Costs, and Endogenous Price Variability // Quart. Journ. Econ. 1987. Vol. 102. P. 703-726.

31. Chamberlin E. Duopoly: Value Where Sellers Are Few // Ibid. 1929. Vol. 43. P. 63-100.

32. Chamberlin E. The Theory of Monopolistic Competition. Cambridge, Mass. : Harvard Univ. Press, 1933 (русский перевод: Теория монополистической конкуренции. М., 1959. – Прим. ред.).

33. Cook P. Facts and Fancy on Identical Bids // Harvard Business Rev. 1963. Vol. 41. P. 67-72.

34. Damme E. van. Renegotiation-Proof Equilibria in Repeated Prisoner's Dilemma. Univ. Bonn, 1986. (Mimeo).

35. Davidson C., Deneckere R. Excess Capacity and Collusion // Discussion Paper 675. DMSEMS. Northwestern Univ. 1985.

36. Eaton J., Engers M. International Price Competition. Univ. of Virginia, 1987. (Mimeo).

37. Farrell J., Maskin E. Renegotiation in Repeated Games. Harvard Univ., 1986. (Mimeo).

38. Friedman J. A Noncooperative Equilibrium for Supergames // Rev. Econ. Stud. 1971. Vol. 28. P. 1-12.

39. Friedman J. Oligopoly and the Theory of Games. Amsterdam : North-Holland, 1977.

40. Fudenberg D., Levine D. Reputation and Equilibrium Selection in Games with a Patient Player. Mass. Inst. of Technology, 1987. (Mimeo).

41. Fudenberg D., Levine D., Maskin E. The Folk Theorem in Discounted Repeated Games with Imperfect Public Information. Mass. Inst. of Technology, 1988. (Mimeo).

42. Fudenberg D., Maskin E. The Folk Theorem in Repeated Games with Discounting and with Incomplete Information // Econometrica. 1986. Vol. 54. P. 533-554.

43. Gertner R. Dynamic Duopoly with Price Inertia: Ph. D. Thesis. Dep. of Economics. Mass. Inst. of Technology, 1986.

44. Green E., Porter R. Non-cooperative Collusion Under Imperfect Price Information // Econometrica. 1984. Vol. 52. P. 87-100.

45. Hall R., Hitch C. Price Theory and Business Behavior // Oxford Econ. Pap. 1939. Vol. 2. P. 12-45.

46. Hirshleifer J. Economics from a Biological Viewpoint // Journ. Law a. Econ. 1977. Vol. 20. P. 1-52.

47. Iwata G. Measurement of Conjectural Variations in Oligopoly // Econometrica. 1974. Vol. 42. P. 947-966.

48. Kalai E., Stanford W. Finite Rationality and Interpersonal Complexity in Repeated Games. Northwestern Univ., 1986. (Mimeo).

49. Kreps D., Milgrom P., Roberts J., Wilson R. Rational Cooperation in the Finitely Repeated Prisoner's Dilemma // Journ. Econ. Theory. 1982. Vol. 27. P. 245-252.

50. Maskin E., Myerson R., Radner R. An Example of a Repeated Partnership Game with Discounting and with Uniformly Inefficient Equilibria // Rev. Econ. Stud. 1986. Vol. 53. P. 59-70.

51. Maskin E., Tlrole J. A Theory of Dynamic Oligopoly. II. Price Competition // Mass. Inst. of Technology. Working Paper 373, 1985.

52. Maskin E., Tlrole J. A Theory of Dynamic Oligopoly. II. Price Competition, Kinked Demand Curves and Edgeworth Cycles // Econometrica. 1988.

53. Maynard Smith J. The Theory of Games and the Evolution of Animal Conflict // Journ. Theoretical Biol. 1974. Vol. 47. P. 209-221.

54. Maynard Smith J. The Evolution of Behavior // Sci. Amer. 1978. Vol. 239, N 3, P. 176-192.

55. Milgrom P. Axelrod's The Evolution of Cooperation // Rand Journ. Econ. 1984. Vol. 15. P. 305-309.

56. Milgrom P. Auction Theory // Advances in Economic Theory // T. Bewley. Cambridge Univ. Press, 1985.

57. Mills E. Price, Output and Inventories. New York : Wiley, 1962.

58. Mookherjee D., Ray D. Collusive Market Structure under Learning by Doing and Increasing Returns // Report RP 884-R. Stanford Univ. Graduate School of Business, 1986.

59. Nelson R., Winter S. An Evolutionary Theory of Economic Change. Cambridge, Mass : Harvard Univ. Press, 1982.

60. Orr D., MacAvoy P. Price Strategies to Promote Cartel Stability // Econometrica. 1965. Vol. 32. P. 186-197.

61. Ortega-Reichert A. Models for Competitive Bidding under Uncertainty: Ph. D. thesis. Stanford Univ., 1967.

62. Pearce D. Renegotiation-Proof Equilibria: Collective Rationality and Intertemporal Cooperation. Yale Univ., 1987. (Mimeo).

63. Porter R. A Study of Cartel Stability: The Joint Economic Committee, // Bell Journ. Econ. 1983. Vol. 14. P. 301-314.

64. Porter R. Cases in Competitive Strategy. New York : Free Press, 1983.

65. Porter R. Optimal Cartel Trigger Price Strategies // Journ. Econ. Theory. 1983. Vol. 29. P. 313-338.

66. Riordan M. Imperfect Information and Dynamic Conjectural Variations // Rand Journ. Econ. 1985. Vol. 16. P. 41-50.

67. Rotemberg J., Saloner G. Price Leadership. Mass. Inst. of Technology, 1985. (Mimeo).

68. Rotemberg J., Saloner G. Strategic Inventories and the Excess Volatility of Production. Mass. Inst. of Technology, 1985. (Mimeo).

69. Rotemberg J., Saloner G. A Supergame-Theoretic Model of Business Cycles and Price Wars during Booms // Amer. Econ. Rev. 1986. Vol. 76. P. 390-407.