и . Рынки и рыночная власть, теория организации промышленности (стр. 26 )

11.6.2.1. Сигнальная игра

Следующая игра названа сигнальной игрой, так как ее вариант был использован Спенсом [65] для изучения сигнализирования рынка рабочих мест. Имеются два игрока. Игрок 1 – лидер (он также называется отправителем, так как посылает сигнал), игрок 2 – ведомый (или получатель). Игрок 1 располагает частной информацией о своем типе t1 из Т1 и выбирает альтернативу a1 из А1 (множество распределений вероятностей на А1 есть ]]. Игрок 2, чей тип для простоты общеизвестен, наблюдает ai и выбирает а2 из А2. Выигрыши равны Пi(a1,a2,t1), где i = 1,2. До начала игры игрок 2 имеет априорные предположения p1(t1) о типе игрока 1.

Игрок 2, наблюдая за ходом игрока 1, перед тем как осуществить свой выбор, должен корректировать свои предположения по поводу t1 и основывать выбор аз на апостериорном распределении . Как образуется это апостериорное распределение? Как и в случае байесовского равновесия, стратегия игрока 1 должна зависеть от его типа. Обозначим через из эту стратегию (как и раньше, это обозначение допускает смешанную стратегию). Поэтому, вычисляя а1(·) и наблюдая a1, игрок 2 может с помощью правила Байеса скорректировать р1(·) в ( · | а1). В сфере рациональных ожиданий игрок 1 должен предвидеть, что его поведение будет влиять на поведение игрока 2 через апостериорные предположения.

Определение. Совершенное байесовское равновесие (СВР) в сигнальной игре – это набор стратегий и (a1) и таких апостериорных предположений, что

(P1)

и

(Р2)

(В) (t1| a1) получено из априорных p1(·), a1 и (·) с помощью правила Байеса (когда оно применимо).

(P1) и (Р2) – условия совершенства. (P1) утверждает, что игрок 2 оптимально реагирует на поведение игрока 1 при его апостериорных предположениях в отношении t1. (Р2) демонстрирует оптимальное поведение игрока 1 по Штакельбергу; отметим, что он учитывает влияние a1 на поведение игрока 2. (В) соответствует применению правила Байеса. Выражение «когда его можно применить» происходит из того факта, что если a1 не входит в состав оптимальной стратегии игрока 1 для некоторого типа, то появление ai является событием с нулевой вероятностью, и правило Байеса не определяет апостериорные предположения. Тогда допустимы любые апостериорные предположения (·|a1).

Оба уточнения, приведенные ниже, накладывают ограничение на «приемлемые» предположения, следующие за внеравновесным поведением а1.

Исключение слабо доминируемых стратегий

Пусть a1 и – две стратегии в A1.

Определение 1. Стратегия а1 слабо доминируется а1 для типа t1 из T1, если для всех а2 и из А2

(11.16)

(по крайней мере, при одном строгом неравенстве для некоторого (a2, ))·a1 слабо доминируется для типа t1, если она слабо доминируется некоторой стратегией для типа t1.

Теперь предположим, что a1 не является равновесной стратегией (т. е. никогда не применяется никаким типом в игре в условиях равновесия). Хотя правило Байеса и допускает любые апостериорные предположения ( ·| a1), игрок 2 не должен придавать положительный вес типам, для которых a1 (слабо) доминируема. Таким образом, для заданной стратегии ai мы определяем

слабо доминируется для типа t1}.

«Приемлемое» ограничение на предположения, следующие из a1, состоит в том, что распределение ( ·|a1) имеет носитель T1 – J, т. е.

(Мы предполагаем, что Т1 счетно, и поэтому используем знак суммирования, но это неважно для доказательства.) Так как мы ограничиваем предположения, мы уменьшаем число потенциальных выигрышей на внеравновеснои траектории и поэтому затрудняем поддержание равновесия.

Далее мы можем уточнять понятие равновесия посредством расширения множества слабо доминируемых стратегий. Определение 1 требует, чтобы a1 доминировалась при любых реакциях а2 и. Но не все реакции правдоподобны. В конечном счете игрок 2 независимо от его апостериорных предположений использует оптимальную реакцию. Итак, введем набор наилучших реакций (ответов)* на некоторое действие a1 для произвольных апостериорных предположений :

Далее, пусть

множество наилучших ответов игрока 2, когда его апостериорные предположения концентрируют весь свой вес на подмножестве I типов. В частности, BR(T1, a1] – все множество потенциальных наилучших реакций на а1.

* best reaction; в дальнейшем BR. – Прим. ред.

Более сильное ограничение на внеравновесные предположения начинается с замены «для всех а2 и из A2» в определении 1 на «для всех а2 из BR(T1,a1) и a2 в BR(T1, )». Это увеличивает число слабо доминируемых стратегий и уменьшает возможный носитель апостериорных предположений. (Требование, чтобы а2 и а были наилучшими ответами, соответствует процедуре последовательного исключения доминируемых стратегий, рассмотренной в тексте.)

Исключение равновесных слабо доминируемых стратегий

Часто существует слишком мало типов, для которых a1 слабо доминируется, чтобы достаточно точно определить носитель апостериорных предположений. «Интуитивный критерий» [10, 38] предлагает увеличить число доминируемых стратегий посредством рассмотрения стратегий, доминируемых предложенным равновесным исходом.* Рассмотрим предложенное равновесие с выигрышем П1*(t1) для типа t1. Предположим, что игрок 1 отклоняется от своей равновесной стратегии и применяет внеравновесную стратегию a1.

* Подобный подход см. в [6, 11]; другой подход см. в [43]. Работа [10] содержит очень полезное обсуждение связи между различными уточнениями и их связью с «критерием устойчивости» из [37]. Наша версия интуитивного критерия следует [10]. Анализ идей, связанных с исключением равновесных доминируемых стратегий в более общих играх, см. в [9]. Существенно отличающиеся уточнения см. в [17, 31, 54].

Определение 2. Стратегия ai равновесно слабо доминируема для типа t1 из Т1, если для всех а2 из BR(T1,a1)

(11.16')

по крайней мере, при одном строгом неравенстве для некоторого а2 из ВВД. си).

Мы можем вновь рассмотреть такое множество J типа t1, в котором а1 равновесно слабо доминируема, и потребовать, чтобы игрок 2 придавал положительные веса только типам t1 из Т1 – J. Суть в том, что если каждый действительно предполагает, что выбирается именно предложенное равновесие (основной принцип понятия равновесия), то игрок 2 знает, что типы в J не имеют стимула для выбора стратегии а1: какими бы ни были связанные с этим апостериорные предположения, для них нет ничего лучшего, чем следовать своей равновесной стратегии. Слабо доминируемая стратегия автоматически является равновесно слабо доминируемой стратегией.

Таким образом, представляется естественным ограничить предположения множеством T1 – J (см., однако, прим. 32). Однако могут возникнуть некоторые проблемы. К примеру, Т1 – J может оказаться пустым. Следовательно, интуитивный критерий должен ограничивать предположения множеством Т1 ~ J только тогда, когда выполняется другое условие. Например, Чо и Крепс [10] предлагают ограничивать предположения множеством Т1 – J, когда выполняется следующее условие: для всех а2 из BR(T1 – J, a1) существует такое t1 (из T1 – J), что

(11.17)

Условие (11.17) утверждает, что независимо от формирования апостериорных предположений, не приписывающих вес J, существует некоторый тип t1, который хотел бы отклониться.

Интуитивный критерий, таким образом, требует, чтобы совершенное байесовское равновесие не реализовало стратегии a1 на внеравновесной траектории и такие подмножества типов J, что a1 слабо доминируемо для всех типов из J и при этом выполняется условие (11.17). (Для конечных игр совершенное байесовское равновесие, не удовлетворяющее такому интуитивному критерию, не является частью устойчивой компоненты в смысле Кольберга и Мертенса [37].*

* См. [10, 38]. Чо и Собел [11] определяют простые условия (включая свойство единственного пересечения и то свойство, что «отправители» всех типов имеют одинаковый порядок в отношении ответа получателя данного сообщения), такие что сигнальная игра имеет единственное устойчивое равновесие (оно тогда является равновесием, выбранным посредством исключения равновесно доминируемых стратегий).

Таким образом, исходя из теоремы существования Кольберга–Мертенса, равновесие, удовлетворяющее интуитивному критерию, существует.)

11.6.2.2. Примеры

Пример 1.

Рассмотрим следующую игру [65]: игрок 1 (рабочий) выбирает уровень образования е и затем требует от игрока 2 (фирмы) заработную плату w. Таким образом,

.

Игрок 2 тогда соглашается или отказывается предоставить рабочему работу при заработной плате w, поэтому

А2 = { да, нет }.

Пассивность фирмы в этой игре должна отражать предложения нескольких фирм для данного рабочего.

Рабочий может быть двух типов, индексируемых по производительности (выраженной в долларах) для любой фирмы: L < Н (поэтому t1 = L или t1 = Н), где L > 0. Рабочему известен его тип, а у фирмы есть априорные предположения, что p1(L) = α и p1 (Н) = I– α. Пусть

-

средняя производительность, вычисленная на основе априорных предположений. Апостериорные предположения обозначаются

и

Рабочий инвестирует в образование е ≥ 0. Для простоты предположим, что уровень образования рабочего не влияет на его производительность. Затраты рабочего на образование, однако, зависят от типа рабочего. Более производительный рабочий обучается при более низких затратах (это условие часто называют условием единичного пересечения, упорядочения или условием Спенса– Мирлиса). Например, предположим, что затраты на образование – e/t1. Выигрыш игрока 1 типа t1, получающего заработную плату w, составляет

Кривые безразличия для этих двух типов представлены на рис. 11.8. Кривая безразличия для типа L круче, чем кривая безразличия для типа Н, так как заданное повышение образования дороже обходится типу L и поэтому требует, чтобы повышение заработной платы удерживало этот тип на одинаковом уровне полезности.

Рис. 11.8.

Фирма принимает предложение, только если w ≤ E(t1 |а1). Любое w ≤ L всегда принимается для любого уровня образования (в частности, 0), и любое w > Н всегда отвергается.

Сначала рассмотрим совершенные байесовские равновесия этой игры. Мы будем рассматривать два потенциальных типа равновесий в чистых стратегиях (разделяющее и объединяющее) и исследуем, удовлетворяют ли эти равновесия двум рассмотренным выше критериям.

Разделяющее равновесие. Два типа рабочих выбирают два разных уровня образования. Тип t\ получает заработную плату t1.* Тип с низкой производительностью L обязательно выбирает е(L) = 0. (Если бы он инвестировал е > 0, то его полезность, равная L – e/L, была бы ниже полученной без образования, которая, по крайней мере, составляет L.) Тип с высокой производительностью выбирает е > 0. Определим уровни образования 0 < s < r посредством

и

* Можно было бы также рассмотреть равновесия, при которых E(ti\a\) > w(ai); однако такие равновесия не удовлетворяют критериям уточнения.

Словом, типу с низкой производительностью безразлично, не инвестировать в образование и быть узнанным (получить зарплату L) или инвестировать s в образование и быть принятым в качестве типа с высокой производительностью (способного потребовать заработную плату Н). Тип с высокой производительностью не захотел бы инвестировать больше, чем r, чтобы быть узнанным (в то время как без инвестирования он мог бы получить заработную плату, по крайней мере равную L). Ясно, что разделяющее СВР имеет уровень образования е в интервале [s, r], так как оно должно удовлетворять ограничениям по совместимости со стимулами L ≥ Н – е/L и H – е/Н ≥ L. И наоборот, любое е из [s, r] является частью СВР. Достаточно определить, что при внеравновесных уровнях образования е', которые не принадлежат {0,е}, фирма ценит только тип с низкой производительностью η(e') – 1. Таким образом, рабочий с уровнем образования е' не может требовать больше чем L и, что легко проверяется, тип L выбирает образование 0, а тип H – образование е. Поэтому имеем континуум разделяющих равновесий.

Однако, когда мы исключаем слабо доминируемые стратегии при формировании внеравновесных предположений, сохраняется только одно разделяющее равновесие. Для этого отметим, что любое е, строго большее, чем s, доминируется уровнем образования 0 для типа L. (Инвестируя 0, рабочий с низкой производительностью получает, по крайней мере, L; инвестируя е, он получает самое большее H – e/L < L). В частности, любое е из [s, r] должно приводить к η(е) = 0 (поэтому можно потребовать w = Н). Таким образом, чтобы быть узнанным, типу H не надо инвестировать больше чем s, и мы остаемся с единственным разделяющим равновесием, при котором тип с высокой производительностью инвестирует на «уровне разделяющего равновесия с наименьшими затратами» s (это равновесие также удовлетворяет интуитивному критерию).

Объединяющие равновесия. Существует также много объединяющих СВР. Предположим, что оба типа выбирают уровень образования е. М – соответствующая зарплата, которую можно потребовать. Для обеспечения реализации такого равновесия выгоднее всего выбирать внеравновесные предположения η(e') = 1 при е' ≠ е (так что заработная плата равна L после е'). Это, как и раньше, дает наименьший стимул отклоняться от е. Теперь при таких предположениях самым выгодным отклонением будет выбор е' = 0. Поэтому, чтобы е было объединяющим равновесием, нужно, чтобы М – е/L ≥ L и М – е/Н ≥ L. Следовательно, любой уровень образования е, удовлетворяющий М – е/L ≥ L, определяет объединяющее равновесие. Таким образом, имеем континуум объединяющих равновесий с уровнями образования в интервале [0, υ], где 0 < υ < s.

Простое исключение слабо доминируемых стратегий не уменьшает множества объединяющих равновесий. Напротив, интуитивный критерий исключает их все. Чтобы это увидеть, рассмотрим рис. 11.8. Предположим, что оба типа объединяются в точке А = {e, w}. Предположим, что игрок 1 отклоняется и выбирает

В = {е + δе, w + δw}.

Точка В включает больше образования и повышение зарплаты, которое с лихвой компенсирует повышение образования для типа с высокой производительностью, но не для типа с низкой производительностью. Выбор В является, таким образом, равновесно доминируемым для типа L (но не для типа H). Поэтому после точки В фирма должна формировать предположения ту = 0 и ожидать прибыль Н – (w + δw). Но w ≤ М < Н, так что при малом δw фирма должна принять предложение В. Поэтому тип Н должен выбрать В, а не А.* Следовательно, объединяющее равновесие в А не удовлетворяет интуитивному | критерию. (В действительности интуитивный критерий не всегда исключает t все объединяющие равновесия. Контрпримером является другая сигнальная игра, игра с ограничивающим ценообразованием, – см. [26]. Другие примеры могут быть построены в более сложных играх, таких как игры с переговорами.)

* Однако если фирму убедили слова типа с высокой производительностью о том, что тип с низкой производительностью никогда не отклонится к точке В, она также должна иметь некоторые сомнения в том, действительно ли А является объединяющим размещением. Другими словами, если общеизвестно, что попытки убедить фирму в том, что точка В выбрана типом H, возымели действие, точка А непременно сигнализирует, что рабочий имеет тип L, так как он отклонился бы к В, если бы имел тип Н. Следовательно, фирма отклоняет предложение А, и даже типу L выгоднее предложить В, чем А. Следовательно, не очевидно, что общеизвестным может быть то, что отклонение к В сигнализирует о типе с высокой производительностью. (Это рассуждение было предложено Джозефом Стиглицем.) Обсуждение этого положения см. в [10].

Следовательно, в этой игре интуитивный критерий отбирает единственное равновесие в чистых стратегиях.* Кроме того, интуитивный критерий исключает авновесия в смешанных стратегиях (либо гибридные или полуразделяющие равновесия)**.

* Альтернативный способ выбора этого равновесия см. в [55].

** Равновесие, выбранное по интуитивному критерию или по критерию устойчивости, разрывно на предположениях фирмы по поводу рабочего. Когда α = 0 (т. е. когда общеизвестно, что рабочий имеет тип //), рабочий не инвестирует в образование и получает заработную плату H. Когда α строго положительна, рабочий типа H все еще получает заработную плату H, но должен инвестировать е = s в образование (где s константа по α и поэтому не стремится к 0 вместе с а). Эта разрывность составляет общее свойство модели сигнализирования Спенса. Более подробно об это см. в [20].

Чтобы увидеть это, дословно повторите рассуждение, используемое выше для объединяющих равновесий.

Теперь мы построим пример из теории организации промышленности с весьма сходной структурой. Трактовка примера точно соответствует примеру с сигнализированием рынка рабочих мест.

Пример 2.

Рассмотрим игру Курно с асимметричной информацией, используемую в тексте, чтобы проиллюстрировать понятие байесовского равновесия, но разыгрываемую последовательно, а не одновременно [27]. Имеются две фирмы (i = 1,2). Фирма или игрок 1 выбирает выпуск a1 = q1. Фирма или игрок 2 выбирает выпуск a2 = q2. наблюдая q1. Выигрыши равны

где t1 может пониматься как свободный член линейной кривой спроса (скажем, за вычетом общих удельных затрат). Если t1 общеизвестно (случай с полной информацией), тогда мы знаем, что фирма 2 имеет функцию реакции

,

а фирма 1 максимизирует

Это приводит к q1 = t1/2 и q2 = t1/4. Прибыли составят П1 = (t1)2/8 и П2 = (t2)2/16.

Предположим теперь, что фирма 1 (укоренившаяся) располагает лучшей информацией о спросе. Перед выбором q1 она узнает t1. Этот параметр или тип может принимать значение L или Н, где 0 < L < Н. Фирма 2 имеет априорные вероятности p1(L)= α и p1(H) = 1 – α. Перед выбором q2 она наблюдает только q1 и корректирует свои предположения:

Очевидно, фирма 2 реагирует наилучшим образом при своих апостериорных предположениях и поэтому максимизирует

Оптимальная реакция

растет вместе с предположениями фирмы 2 о том, что спрос высок. Следовательно, у фирмы 1 есть стимул убедить фирму 2 в том, что спрос низок.

Выведем сначала свойство монотонности из условий совместимости со стимулами. Грубо говоря, фирма 1 выбирает большее количество, когда спрос высок.* Пусть q1 и – оптимальные стратегии для типов L и H соответственно. (Мы допускаем возможность существования нескольких таких стратегий.) Оптимальность требует, чтобы

и

Сложение этих двух неравенств дает

что дает искомую монотонность.

* Это условие, которое можно получить в значительно более широком классе игр (включая предыдущую сигнальную игру с рынком рабочих мест), вытекает из условия Спенса–Мирлиса, которое можно записать как

* Если бы типу Я пришлось выбирать q1 в равновесии, то его прибыль составила бы

где первое неравенство вытекает из максимизации при полной информации, а второе – из того, что ожидание t1, при условии, что фирма 1 выбирает H/2, не может превысить H.

Теперь найдем объединяющие и разделяющие равновесия (в чистых стратегиях). Введем ряд условий. Эти условия выполняются, например, при Н = 4, L – 3 и α = 0.8. (Эти численные значения упрощают вычисления.)

Разделяющие равновесия. При разделяющем равновесии тип фирмы раскрывается через ее выпуск. Тип Н поэтому использует в игре количество H/ 2 при полной информации.* Ограничения по совместимости со стимулами требуют, чтобы тип t1 не захотел выбрать количество, выбранное типом. Ясно, что тип L не хочет выбирать H/2. Во-первых, H/2 не ориентирована на максимизацию прибыли для типа L при полной информации о L. Во-вторых, выбор H/2 передает информацию о том, что спрос высок, и ведет к большему, чем при полной информации, выпуску фирмы 2. Соответствующее ограничение по стимулам, таким образом, состоит в том, что тип с высоким спросом не хочет выбирать количество q1 типа с низким спросом; это означает, что

(11.18)

Чтобы сделать ситуацию более интересной, предположим, что условие (11.18) нарушается на выпуске типа L в условиях полной информации (q1 = L/2):

Легко проверяется, что (11.19) выполняется, если L достаточно близко к H. (Интуитивное представление состоит в том, что при L H изменение выпуска типом H с целью заявить, что он является типом L, производит лишь прямой эффект второго порядка на его прибыль, но дает снижение первого порядка в выпуске фирмы 2 и, следовательно, косвенное увеличение первого порядка прибыли фирмы 1.) Неравенство (11.19), монотонность выпуска по типу и вогнутость правой части (11.18) означают, что разделяющий выпуск q не должен превышать s < L/2, где s – наименьший корень (11.18). (Например, для H = 4 и L = 3, s = 1.) С другой стороны, q1 не может быть слишком малым (иначе тип L не захотел бы выбрать q1 даже если это передает информацию о том, что спрос низок), поэтому необходимое условие имеет вид:

(11.20)

где правая часть вычисляется при самом пессимистическом допущении, что выпуск х передает информацию о том, что спрос высок. Легко видеть, что из (11.20) и нашего предыдущего анализа следует, что q1 должно принадлежать некоторому интервалу [r, s], где r – наименьший корень (11.20) (при H = 4 и L = 3 r принадлежит (0,1)).

И наоборот, любое q1 из [r, s] является выпуском типа L при разделяющем СВР. Чтобы получить этот результат, достаточно определить, что при внерав-новесных количествах q1, которые не из {q1, H/2}, фирма 2 предполагает спрос высоким. В силу (11.20) тип L предпочитает выбрать q1. Из определения H/2 следует, что тип Я предпочитает выбрать H/2. Таким образом, существует континуум разделяющих СБР.

Как и в примере 1, исключение слабо доминируемых стратегий оставляет нам единственное разделяющее равновесие: разделяющее равновесие с наименьшими затратами в s. Это происходит потому, что выбор q1 < s домини-руется выбором H/2 для типа H (в силу определения s). Таким образом, при q1 < s фирма 2 должна считать, что спрос низок. В свою очередь типу L не нужно выбирать выпуск, меньший, чем s, чтобы сигнализировать о том, что спрос низок.

Объединяющие равновесия. Пусть q – объединяющее количество. (Оба типа выбирают q в равновесии.) Апостериорное предположение фирмы 2 о пересечении после выпуска q1 остается неизменным:

M = αL + (l – α)Н.

Таким образом, прибыль типа t1 составляет

Лучший способ поддержать q1 как объединяющий выпуск СВР – допустить, что фирма 2 убеждена в том, что спрос высок, когда она наблюдает. Поэтому q1 будет в самом деле объединяющим равновесным выпуском тогда и только тогда, когда

(11.21)

и

(11.22)

Как легко проверить, (11.22) определяет интервал допустимых q1, который включает Р/2. Неравенство (11.21) также определяет интервал, расположенный справа от r. Действительно, при наших численных значениях (Н = 4, L = 3, α = 0.8) этот интервал также содержит Н/2. Таким образом, множеством объединяющих выпусков является интервал, содержащий Н/2.

Чтобы устранить этот континуум объединяющих равновесий, мы можем использовать интуитивный критерий. Пусть q1 – объединяющий равновесный выпуск. Определим как наименьший корень уравнения

(11.23)

Теперь выбор q1 – ε (ε положительно и мало) равновесно доминируемо для типа Н, но не для типа L. Поэтому апостериорные предположения фирмы 2 должны концентрировать весь вес на типе L после выпуска q1 – ε. Но в силу (11.23) тип L предпочитает выбор выбору q1. Таким образом, q1 больше не является объединяющим выпуском.

Упражнение 11.13(**). Рассмотрим игру Штакельберга лишь с тем отличием, что ti непрерывно распределено на интервале [L, H], вместо того чтобы иметь только два атома в L и H. Найдем разделяющее равновесие. Тип t1 выбирает выпуск q1 = Q1(t1), где Q1 строго возрастающая и дифференцируемая; обратной функцией для Q1 является Т. Таким образом, T(q1) – тип, выбирающий выпуск q1.

1. Покажите, что Т удовлетворяет дифференциальному уравнению

2. Каково граничное условие? Проверьте, что решением является

3. Докажите, что T(s) > L, где s – разделяющий выпуск с наименьшими затратами в дискретном случае.

Упражнение 11.14(**).* В главе 4 мы видели, что при отсутствии неопределенности монопольный производитель делает монопольного розничного (или оптового) торговца претендентом на остаток от его продажи. Это означает, что производитель назначает промежуточную цену, равную его предельным затра-таи, и присваивает прибыль розничного торговца посредством единовременного трансферта (платы за франшизу). Это упражнение показывает, что, когда у производителя есть частная информация о спросе на его продукт, он может захотеть назначить цену, превышающую его предельные затраты (и уменьшить плату за франшизу), в целях сигнализирования. Монопольный производитель с предельными затратами с устанавливает двухставочный тариф монопольному розничному торговцу: T(q)= А + pwq, где q – количество, купленное и перепроданное розничным торговцем; pw – промежуточная цена; А – плата за франшизу. Окончательным спросом на продукт будет q = t1 – р, где р – потребительская цена, выбранная розничным торговцем. Для простоты примем, что затраты на розничную торговлю равны нулю. Игрок 1 (производитель) делает ход первым и предлагает контракт a1 = {A, pw}. Игрок 2 (розничный торговец) принимает либо отклоняет контракт, и если принимает – выбирает цену для потребителей. Поэтому a2 = { да или нет, р}. Он принимает контракт тогда и только тогда, когда его прибыль неотрицательна.

* Это упражнение возникло в результате обсуждений с Эриком Мэскином.

1. Вновь получите результат, показывающий, что при полной информации о t1 равновесный контракт есть pw = с и А = (t1 – c)2/4.

2. Предположим, что только производителю известно t1. Этот параметр (тип) может принимать значение L или H (0 < L < Н). Розничный торговец узнает t1 после подписания контракта, но до выбора р. Проанализируйте еще раз примеры 1 и 2, чтобы показать, что тип L назначает промежуточную цену, равную с, а тип Н назначает промежуточную цену, строго превышающую с. (Покажите, что промежуточная цена – это неубывающая функция t1. Найдите разделяющее и объединяющее равновесия. Используйте исключение доминирующих стратегий и интуитивный критерий.)

Литература

1. Abreu D. Infinitely Repeated Games with Discounting: A General Theory. Harvard Univ., 1984.

2. Arrow K. The Property Rights Doctrine and Demand Revelation under Incomplete Information // Economics and Human Welfare. New York : Academic, 1979.

3. Aumann R. Subjectivity and Correlation in Randomized Strategies // Journ. Math. Econ. 1974. Vol. 1. P. 67-96.

4. Aumann R. Agreeing to Disagree // Annals Statist. 1976. Vol. 4. P. .

5. Aumann R., Shapley L. Long Term Competition: A Game Theoretic Analysis. 1976. (Mimeo).

6. Banks J., Sobel J. Equilibrium Selection on Signaling Games // Econometrica. 1987. Vol. 55. P. 647-662.

7. Benoit J.-P., Krishna V. Finitely Repeated Games // Ibid. 1985. Vol. 53. P. 890-904.

8. Brandenburger A., Dekel E. Hierarchies of Beliefs and Common Knowledge. 1985. (Mimeo).

9. Cho I.-K. A Refinement of Sequential Equilibrium. Princeton Univ., 1986. (Mimeo).

10. Cho I.-K., Kreps D. Signaling Games and Stable Equilibria // Quart. Journ. Econ. 1987. Vol. 102. P. 179-221.

11. Cho I.-K., Sobel J. Strategic Stability and Uniqueness in Signaling Games. Univ. of Chicago, 1987. (Mimeo).

12. Clarke E. Multipart Pricing of Public Goods // Public Choice. 1971. Vol. 2. P. 19-33.

13. Dasgupta P., Maskin E. The Existence of Equilibrium in Discontinuous Economic Games. I. Theory // Rev. Econ. Studies. 1986. Vol. 53. P. 1-26.

14. Dasgupta P., Maskin E. The Existence of Equilibrium in Discontinuous Economic Games. II. Applications // Ibid. P. 27-42.

15. D'Aspremont С., Gerard-Varet L. A. Incentives and Incomplete Information // Journ. Public Econ. 1979. Vol. 11. P. 25-45.

16. Debreu G. A Social Equilibrium Exictence Theorem // Proc. National Acad. Sci. 1952. Vol. 38. P. 886-893.

17. Farrell J. Credible Neologisms in Games of Communication. Mass. Inst. of Technology, 1985. (Mimeo).

18. Fraysse J., Moreaux M. Collusive Equilibria in Oligopolies with Finite Lives // Europ. Econ. Rev. 1985. Vol. 24. P. 45-55.

19. Friedman J. Game Theory with Applications to Economics. Oxford Univ. Press, 1986.

20. Fudenberg D., Kreps D., LevLne D. On the Robustness of Equilibrium Refinements // Journ. Econ. Theory. 1988. Vol. 44. P. 354-388.

21. Fudenberg D., Levine D. Subgame-Perfect Equilibria of Finite and Infinite Horizon Games // Ibid. 1983. Vol. 31. P. 251-268.

22. Fudenberg D., Maskin E. Folk Theorems for Repeated Games with Discounting or with Incomplete Information // Econometrica. 1986. Vol. 54. P. 533-554.

23. Fudenberg D., Tirole J. Sequential Bargaining with Incomplete Information // Rev. Econ. Stud. 1983. Vol. 50. P. 221-247.

24. Fudenberg D., Tirole J. A Signal-Jamming Theory of Predation // Rand Journ. Econ. 1986. Vol. 17. P. 366-376.

25. Fudenberg D., Tirole J. A Theory of Exit in Duopoly // Econometrica. 1986. Vol. 54. P. 943-960.

26. Fudenberg D., Tirole J. Noncooperative Game Theory for Industrial Organization: An Introduction and Overview // Handbook of Industrial Organization / R. Schmalensee, R. Willig. Amsterdam : North-Holland, 1986.

27. Gal-Or E. First Mover Disadvantages with Private Information // Rev. Econ. Stud. 1987. Vol. 54. P. 279-292.

28. Gibbons R. Incentives in Internal Labor Markets. Mass. Inst. of Technology, 1985. (Mimeo).

29. Green J., Laffont J.-J. Characterization of Satisfactory Mechanisms for the Revelation of Preferences for Public Goods // Econometrica. 1977. Vol. 45. P. 427-438.

30. Grossman S. The Role of Warranties and Private Disclosure about Product Quality // Journ. Law a. Econ. 1980. Vol. 24. P. 461-483.

31. Grossman S., Perry M. Perfect Sequential Equilibrium // Journ. Econ. Theory. 1986. Vol. 39. P. 97-119.

32. Groves T. Incentives in Teams // Econometrica. 1973. Vol. 14. P. 617-631.

33. Harsanyi J. Games with Incomplete Information Played by Bayesian Players // Management Sci. . Vol. 14. P. 159-182, 320-334, 486-502.

34. Harsanyi J. Games with Randomly Disturbed Payoffs: A New Rationale for Mixed Strategy Equilibrium Points // Intern. Journ. Game Theory. 1973. Vol. 2. P. 1-23.

35. Holmstrom B. Managerial Incentive Problems: A Dynamic Perspective. 1983. (Mimeo).

36. Hotelling H. The Stability of Competition // Econ. Journ. 1929. Vol. 39. P. 41-57.

37. Kohlberg E., Mertens J.-F. On the Strategic Stability of Equilibria // Econometrica. 1986. Vol. 54. P. .

38. Kreps D. Signalling Games and Stable Equilibrium. 1984. (Mimeo).

39. Kreps D., Wilson R. Sequential Equilibrium // Econometrica. 1982. Vol. 50. P. 863-894.

40. Kuhn H. Extensive Games and the Problem of Information // Annals Math. Stud. Princeton Univ. Press. 1953. № 28.

41. Luce R., Raiffa H. Games and Decisions. New York: Wiley, 1957 (русский перевод: , Райфа X. Игры и решения: Введение и критический обзор. М., 1961. – Прим. ред.).

42. Maskln E., Riley J. Uniqueness of Equilibrium in Open and Sealed Bid Auctions. Los Angeles : Univ. of California, 1983. (Mimeo).

43. McLennan A. Justifiable Beliefs in Sequential Equilibrium // Econometrica. 1985. Vol. 53. P. 889-904.

44. Mertens J.-F., Zamir S. Formulation of Bayesian Analysis for Games with Incomplete Information // Intern. Journ. Game Theory. 1985. Vol. 14. P. 1-29.

45. Milgrom P. An Axiomatic Characterization of Common Knowledge // Econometrica. 1981. Vol. 49. P. 219-222.

46. Milgrom P. Good News and Bad News: Representation Theorems and Applications // Bell Journ. Econ. 1981. Vol. 12. P. 380-391.

47. Milgrom P., Weber R. A Theory of Auctions and Competitive Bidding // Econometrica. 1982. Vol. 50. P. .

48. Milgrom P., Weber R. Distributional Strategies for Games with Incomplete Information // Math. Operations Research. 1986. Vol. 10. P. 619-631.

49. Moulin H. Game Theory for the Social Sciences // New York : Univ. Press, 1982.

50. Myerson R. Optimal Auction Design // Math. Operations Research. 1979. Vol. 6. P. 58-73.

51. Myerson R. Bayesian Equilibrium and Incentive Compatibility: An Introduction // Northwestern MEDS Discussion Paper 5

52. Myerson R. An Introduction to Game Theory // Discussion Paper 623. Kellogg School of Business. Northwestern Univ., 1984.

53. Nash J.-F. Equilibrium Points in./V-person Games // Proc. Nat. Acad. Sci. 1950. Vol. 36. P. 48-49.

54. Okuno-Fujiwara M., Postlewaite A. Forward Induction and Equilibrium Refinement. Univ. of Pennsylvania, 1986. (Mimeo).

55. Riley J. Informational Equilibrium // Econometrica. 1979. Vol. 47. P. 331-360.

56. Riordan M. Imperfect Information and Dynamic Conjectural Variations // Rand Journ. Econ. 1985. Vol. 16. P. 41-50.

*****binstein A. Equilibrium in Supergames with the Overtaking Criterion // Journ. Econ. Theory. 1979. Vol. 21. P. 1-9.

*****binstein A. Perfect Equilibrium in a Bargaining Model // Econometrica. 1982. Vol. 50. P. 97-110.

59. Saloner G. Predation, Merger and Incomplete Information // Rand Journ. Econ. 1987. Vol. 18. P. 165-186.

60. Schelling T. The Strategy of Conflict. Cambridge, Mass. : Harvard Univ. Press, 1960.

61. Selten R. Spieltheoretische Behandlung eines Oligopolmodells mit Nachfragetragheit // Ztschr. gesamte Staatswiss. 1965. Vol. 12. P. 301-324.

62. Selten R. Reexamination of the Perfectness Concept for Equilibrium Points in Extensive Games // Intern. Journ. Game Theory. 1975. Vol. 4. P. 25-55.

63. Selten R. The Chain-Store Paradox // Theory a. Decision. 1978. Vol. 9. P. 127-159.

64. Snaked A., Button J. Involuntary Unemployment as a Perfect Equilibrium in a Bargaining Model // Econometrica. 1984. Vol. 52. P. .

65. Spence M. Market Signaling. Cambridge, Mass. : Harvard Univ. Press, 1974.

66. Tirole J. Jeux Dynamiques: Un Guide de 1'Utilisateur // Rev. d'Econ. Polit. 1983. Vol. 4. P. 551-575.

67. Vickrey W. Counterspeculation, Auctions and Competitive Sealed Tenders // Journ. Finance. 1961. Vol. 16. P. 8-37.

68. Petrosjan L., Zenkevich N. Game Theory. Singapore–New Jersey–London : World Scientific Publ., 1996.