и . Рынки и рыночная власть, теория организации промышленности (стр. 3 )

При обосновании модели Курно существованием ограничений по мощности необходимо быть осмотрительными. Состоятельность обоснования следует проверить в каждой модели.

И последнее: количественную конкуренцию можно в общем случае рассматривать как конкуренцию в выборе масштаба, где выбор фирмой масштаба определяет функцию ее затрат и, таким образом, условия ценовой конкуренции.

5.7. Дополнительный раздел: количественная конкуренция

5.7.1. Традиционный анализ курно: существование, единственность и предельное поведение

Этот подраздел дает неполное описание технического анализа и исследований, которые проводились в рамках одношаговой модели Курно (без ценовой конкуренции), рассмотренной в главе 5.

5.7.1.1. Существование равновесия в чистых стратегиях

Равновесия в чистых стратегиях имеют привлекательные свойства. Во-первых, они просты. Во-вторых, ни одна фирма не испытывает ex post сожаления, узнав о выборе другой фирмы. Поэтому никакой дальнейшей корректировки не требуется, даже если фирма может изменить свои мощности. Равновесие в смешанных стратегиях требует, чтобы фирмы не могли корректировать свои мощности (даже в сторону повышения), так как реализация мощно сти одной фирмой может оказаться неоптимальной по сравнению с реализацией мощности другой фирмой. Таким образом, они более чувствительны к возможности корректировки. Существование равновесия в чистых стратегиях привлекло пристальное внимание исследователей. С этой целью исторически рассматривались две группы предположений. Мы будем рассматривать проблему существования в случае двух фирм; рассуждение можно непосредственно распространить на большее число фирм. Для простоты мы также предположим, что функции прибыли дважды непрерывно дифференцируемы.

Первый подход предполагает, что функция прибыли каждой фирмы вогнута по ее собственному выпуску (см., например, [57]). Из анализа в тексте мы знаем, что достаточное условие вогнутости состоит в том, чтобы функции затрат были выпуклы (), а функции спроса вогнуты (Р" ≤ 0). При вогнутых функциях прибыли можно определить непрерывные функции реакции Ri(qj).* Чтобы убедиться, что эти функции пересекаются, можно наложить следующие технические условия:

* Для простоты будем предполагать, что. В этом случае функции реакции однозначны.

для всех i (каждая фирма хотела бы производить по крайней мере небольшое количество, если бы она была монополией) и

(выпуск фирмы i, который вынуждает фирму j ничего не производить, превышает монопольный выпуск фирмы i). Эти условия, как и строгая вогнутость функции прибыли в отношении собственного выпуска, выполняются при линейном спросе и постоянных предельных затратах, если последние «не слишком высоки». Подтверждение можно получить из рис. 5.7.*

* Более общее доказательство для Р" < 0 и > 0 состоит в следующем: определим (однозначную) функцию qi(Q) условием первого порядка

P(Q) – (qi) + qiP'(Q) = 0

или нулем, если это уравнение не имеет решения. Отметим, что qi(Q) непрерывная и невозрастающая; такой же будет и. Равновесие по Курно в чистых стратегиях получается через нахождение такого совокупного выпуска, что, т. е. путем нахождения неподвижной точки функции. Теорема Брауэра утверждает, что непрерывная функция, отображающая компактное множество в себя, имеет, по крайней мере, одну неподвижную точку, что доказывает результат. (Компактность легко достигается предположением, что qi(0) ≥ 0 и qi < Q для любого Q, такого, что P(Q) = 0). Равновесие тогда единственно, так как все функции qi(Q) убывающие, когда они строго положительны. (Чтобы убедиться в этом, можно построить график.)

Рис. 5.7.

Замечание. Существование равновесия по Курно в чистых стратегиях не составляет проблемы для отрасли с большим числом фирм. Чтобы убедиться в этом на интуитивном уровне, напомним, что вторая производная Пi равна

Предположим, что ≥ 0 и мы (как и в примере, приведенном в тексте) увеличиваем число фирм, сохраняя спрос постоянным, а совокупный выпуск стремится к конкурентному. P'(Q) тогда стремится к строго отрицательной постоянной. Если qi, стремится к нулю (как и в примере, приведенном в тексте), то Пi строго вогнута и можно применить предыдущий вывод о существовании. Если qi не стремится к нулю, а конкурентное равновесие достигается репликацией (повторением) стороны потребления или же посредством снижения максимально эффективного масштаба (см. раздел 5.7.1.3), тогда для получения результата этого типа понадобится провести дополнительную работу. Новшек и Зонненшайн [43] показывают, что для их модели существует равновесие по Курно, при котором доля фирм, использующих смешанную стратегию, стремится к нулю, когда экономика повторяема.*

* Они также показывают в модели общего равновесия, что кривая спроса, которая, как мы естественно предполагаем, оказывается нисходящей в нашем контексте частного равновесия, действительно должна быть нисходящей в равновесии для большой экономики.

К сожалению, функция прибыли не обязательно вогнута. Она может не быть таковой, в частности, если функция спроса «достаточно выпукла» (корректные контрпримеры вогнутости функции прибыли и существования равновесия в чистых стратегиях даже при выпуклой функции затрат см. в [23, 47]). Функции реакции не всегда непрерывны (могут иметь скачки), если функции прибыли не вогнуты. Второй подход [39, 40, 46, 59] доказывает существование для симметричных фирм с выпуклой функцией затрат. Идея доказательства состоит в том, чтобы показать, что предположение о выпуклости функции затрат подразумевает, что скачки функции реакции (которая одинакова для всех фирм) – это скачки вверх.* Как показано на рис. 5.8, только скачки вниз составляют трудность при доказательстве существования такого выпуска q фирмы, что q – оптимальная реакция на себя (симметричное равновесие в чистых стратегиях).

* Предположим, что Р" ≥ 0 (случай, который создает проблемы с первым доказательством единственности). Предположим для простоты, что затраты равны нулю. Предположим, что для q1 – ε оптимальная реакция есть q2 и что для q1+ ε она < q2, где ε положительно и произвольно мало. Максимизация прибыли требует, чтобы

и

Суммируя эти два неравенства и используя разложение Тейлора первого порядка по ε, получаем противоречие для Р" ≥ 0. Таким образом, здесь не может быть никакого скачка вниз. Читатель может проверить это свойство для выпуклых функций затрат общего вида.

Рис. 5.8.

Более современный подход ([42], связанный с этим результат см. в [5]) показывает, что если предельная выручка фирмы возрастает по выпуску другой фирмы, то существует равновесие в чистых стратегиях.

5.7.1.2. Единственность

Равновесие по Курно в чистых стратегиях, даже если оно существует, не обязательно единственно (рис. 5.9). Тем не менее для единственности можно найти достаточные условия. К примеру, рассмотрим случай с двумя фирмами. Предположим, что функции прибыли строго вогнуты по своему индивидуальному выпуску. Дифференцирование условия первого порядка

по qj дает наклон кривой реакции:

.

Достаточное условие для того, чтобы кривые реакции пересекались только один раз, состоит в том, чтобы при любом пересечении R1 было бы круче, чем R2 (см. точки А и С на рис. 5.9). В свою очередь, достаточное условие для этого состоит в том, чтобы производные функций реакции были меньше 1 по своему абсолютному значению в соответствующей области значений (|| < 1). Таким образом, неравенства || > || достаточно для единственности.* Это условие выполняется для линейного спроса и постоянной отдачи от масштаба, когда наклон функций реакции равен 1/2.

* Для n фирм условие

достаточно. В действительности оно не требует, чтобы товары были совершенными заменителями. См. [23].

Рис. 5.9. Множество равновесий по Курно.

5.7.1.3. Приближение к конкурентному равновесию

В тексте мы убедились на простом примере, что, когда число фирм стремится к бесконечности, равновесие по Курно сходится к конкурентному равновесию. Причина в том, что небольшая фирма более склонна увеличивать свой выпуск, чем большая, так как влияние такого увеличения на рыночную цену для малой фирмы мало. (Хотя глобальное влияние единичного увеличения qi на р то же, что и в случае монополии или дуополии, большая его часть представляет отрицательный внешний эффект в отношении других фирм, если фирма i мала.*)

* Этот результат соответствует результату в [45] для более абстрактных контекстов, который демонстрирует невозможность для экономических агентов манипулировать конкурентным процессом в большой экономике.

Существует несколько способов увеличения числа фирм. Один из них, уже использованный в тексте, – простая репликация числа фирм. Если технология характеризуется непостоянной отдачей от масштаба, то во избежание неконкурентных исходов того типа, который описан в главе 7, можно реплицировать сторону потребления наряду со стороной производства. (Например, репликация числа фирм не делает отрасль более конкурентной, если высокие постоянные затраты и ограниченный потребительский рынок фиксируют число жизнеспособных фирм.) Это было, например, сделано в [25]. Вначале можно также предоставить «свободный вход» (число потенциальных фирм бесконечно, а число действующих фирм ограничено существованием постоянных затрат или возрастающей отдачи от масштаба в некотором интервале и размером рынка) и либо реплицировать сторону потребления, либо снизить минимально эффективный масштаб, с тем чтобы стимулировать вход. Хотя здесь и не будет приведен обзор обширной литературы по этому предмету (см. [30, 38, 43, 48], а также материалы симпозиума 1980 г. в апрельском выпуске Journal of Economic Theory за 1980 г.), следует отметить, что в основном эта литература касается более крупной структуры. В частности, начиная с [25], результаты нередко получались в ситуации общего равновесия.* Здесь мы можем рассмотреть простой пример частного равновесия, приведенный в [43].

* Весьма полезный обзор выводов для общего равновесия и методологии см. в [31].

Предположим, что в первоначальной экономике каждая фирма имеет U-образную кривую средних затрат G(q)/q, как показано на рис. 5.10. При нулевом производстве затраты равны нулю. Наиболее эффективный масштаб производства (MES) – т. е. объем выпуска, который минимизирует средние затраты, – без потери общности можно положить равным 1. Пусть с – минимальные средние затраты. Сохраним сторону потребления постоянной (спрос р = P(Q)) и уменьшим MES. С этой целью мы введем семейство функций затрат Cα(q) = αC(q/α). MES Сα есть α, а минимальные средние затраты все еще с.*

* достигается при q/α = 1 и равно с.

Рис. 5.10.

При любой а мы допускаем свободный вход. Существует бесконечное число потенциальных фирм. Все они выбирают выпуск одновременно. Разумеется, при данной а только конечное число фирм войдет (будет действовать) в отрасль из-за первоначально возрастающей отдачи от масштаба. Равновесие по Курно предполагает, в частности, что все действующие фирмы (т. е. фирмы, выбирающие qi > 0) получают неотрицательную прибыль и что любая недействующая фирма получала бы неположительную прибыль, если бы она вошла в отрасль.

Когда α стремится к нулю, в отрасль могут входить фирмы с небольшими масштабами производства, т. е. возможно производить небольшой выпуск при удельных затратах с. Это влечет более конкурентное поведение. Действительно, если равновесие существует (как это достигается, см. [43] или замечание в подразделе 5.7.1.1), общий равновесный выпуск Q должен принадлежать интервалу [Q* – α, Q*], где Q* – выпуск Вальраса в ограниченной экономике: Q* = D(с). Чтобы это показать, вначале предположим, что Q > Q*. Тогда

для всех qi ≥0.

Таким образом, действующие фирмы получают отрицательную прибыль. Для них было бы лучше выбрать qi = 0 и получать нулевую прибыль. Теперь предположим, что Q < Q* – α. Рассмотрим недействующую фирму г; она получает нулевую прибыль. Вступив в отрасль с масштабом qi = α, она довела бы общий выпуск до Q + α < Q*. Тогда бы ее прибыль составила

,

что оказывается противоречием. Таким образом, мы действительно получаем конкурентное равновесие в пределе, когда а стремится к нулю.

Рис. 5.11.

Харт [29] отметил, что наличие большого числа конкурентов не всегда необходимо для получения конкурентного исхода. Важно, чтобы фирма была мала относительно рынка своего товара и поэтому не испытывала значительного влияния со стороны своих решений по рыночной цене. Это утверждение лучше всего можно пояснить на примере монопольного производителя. Предположим, что производитель имеет ровно 10 единиц такого изготовленного товара для потенциальной продажи (т. е. он имеет ограничение по мощности, равное 10 единицам, и предельные затраты, равные н, 8..., монополист будет продавать только монопольный объем выпуска – 5 единиц. Если сторона потребления реплицируется по крайней мере 10 раз (скажем, существуют 10 идентичных островов, на которых монополист может продавать), монополист может продавать свои 10 единиц по цене 10. В таком случае он не вносит искажения в экономику. Рис. 5.11 отображает интуитивное представление для этого результата в случае непрерывно возрастающих предельных затрат. Этот рисунок воспроизводит сторону потребления; для экономики, состоящей из К ≥ 1 островов, требуемое количество составит q = KD(p). (К играет роль 1/α в предыдущем рассуждении.) Таким образом, при производстве q рыночная цена составит

где ≡ q/K – «выпуск на остров». Функция затрат на остров как функция от может быть тогда записана как

.

Таким образом, предельные затраты () = C'(K) сдвигаются на северо-запад. Монополист выбирает объем выпуска для каждого острова, чтобы уравнять предельную выручку с предельными затратами. Когда К большое, фирма в основном действует в верхней части кривой спроса и, таким образом, выбирает цену (приблизительно равную самой высокой оценке) почти как данную.

Аллен и Хеллвиг [1] исследовали ценовую игру с ограничениями по мощности, когда число фирм стремится к бесконечности. Они предположили, что мощность каждой фирмы является экзогенной константой (здесь нет первого этапа, определяющего мощности), и показали, что равновесное ценовое распределение сходится (по распределению) к совершенно конкурентному исходу.*

* Авторы предполагают пропорциональное рационирование. Они обнаружили, что, хотя сходимость по распределению имеет место, сходимость по носителю не существует. Иными словами, монопольные цены сохраняются при любом числе фирм (но их вероятность стремится к нулю). Как показывает Вайвес [60], для правила эффективного рационирования носитель распределения равновесной цены также сходится к конкурентной цене.

5.7.2. Ценовые игры с ограничением по мощности

Здесь мы неформально рассмотрим часть оригинального построения Крепса и Шейнкмана [35], которое показывает, что при некоторых обстоятельствах исход Курно имеет место для ценовых игр с ограничением по мощности. В частности, мы сначала построим ценовую игру с (жесткими) ограничениями по мощности и эффективным рационированием. Мы покажем, что фирмы продают количества в соответствии с полной мощностью в некоторой области, где мощности не слишком велики, и что в двухшаговой игре выбор мощностей на первом шаге заканчивается в этой области, а исход эквивалентен исходу Курно. Затем мы будем рассматривать последовательность ходов игры.

5.7.2.1. Ценовая игра

Предположим, что имеются две фирмы (i = 1,2). Фирма i имеет жесткое ограничение по мощности ; она может производить любое количество qi ≤ при удельных затратах с. Она не может произвести больше, чем. Для простоты предположим, что с = 0. Предельные затраты производства представлены на рис. 5.1. Фирма продает в соответствии со своими мощностями, если qi = . Допустим, что рационирование эффективное.* Функция спроса Р вогнута (Р" ≤ 0), и фирмы выбирают свои цены одновременно.

* См. раздел 5.3.

Анализ проводится следующим образом. Сначала мы рассмотрим существование равновесия в чистых стратегиях (т. е. фирмы не рандомизируют свой выбор цен). Мы покажем, что такое равновесие имеет место тогда и только тогда, когда мощности «не слишком высоки» (т. е. принадлежат некоторой окрестности начала координат в пространстве мощностей). Равновесие в этой области таково, что обе фирмы назначают цену, при которой спрос равен совокупной мощности. Таким образом, обе фирмы по существу выбрасывают свои объемы выпуска на рынок способом, аналогичным поведению Курно (единственное отличие состоит в том, что рыночную цену назначают фирмы, а не аукционист). Следующей ступенью анализа является характеризация равновесия (обязательно в смешанных стратегиях) при «высоких» мощностях. Это сложно, но лемма показывает, что прибыль фирмы с самой высокой мощностью равна прибыли ведомого по Штакельбергу (т. е. прибыли, получаемой этой фирмой, когда она оптимально реагирует на выпуск другой фирмы, который, по предположению, равен ее мощности). Анализ предварительного выбора мощностей в таком случае оказывается простым. Легко заметить, что мощности или количества Курно приводят к ценовому равновесию в области чистых стратегий и что если фирма выбирает свою мощность Курно, то и для другой фирмы лучше всего выбрать свою мощность Курно.

Лемма 1. При равновесии в чистых стратегиях р1 = р2 = P( + ). Фирмы продают в соответствии со своими мощностями.

Доказательство. Сначала предположим, что р1 = р2 = p = P( + ). Тогда цена слишком высока в том смысле, что по крайней мере одна фирма i не может продавать в соответствии с мощностью: qi< . Итак, назначая цену р – ε, фирма i получает весь рынок и может продать. Таким образом, при малом е фирма г выиграла бы от снижения цены (т. е. qip < (p – ε)). Если p1 = р2 = р < P( + ), обе фирмы строго рационируют своих клиентов. Несколько повышая свою цену, каждая фирма все еще могла бы продавать в соответствии со своими мощностями и получила бы большую прибыль. И последнее: pi < pj невозможно – фирма с меньшей ценой всегда стремится повышать ее, если она ограничена по мощности; в противном случае pi – монопольная цена фирмы i при затратах с = 0, и при этой цене фирма г удовлетворяет весь спрос. Таким образом, фирма j не получает прибыли, тогда как она могла бы получить строго положительную прибыль, снизив цену до рi – ε. Лемма доказана.

Следующая простая лемма во многом отражает интуитивное представление о конкуренции по Курно. Пусть Ri(qj) – оптимальная реакция фирмы i на выпуск qj в одношаговой игре с одновременным выбором количества при отсутствии затрат на накопление мощности: Ri(qj) максимизирует qiP(qi + qj). Так как кривая спроса вогнута, Ri – однозначная и убывающая (см. раздел 5.4).

Лемма 2. При равновесии в чистых стратегиях фирма i никогда не назначит цену ниже P( + Ri()) в ценовой игре с ограничением по мощности.

Это означает, что нет смысла назначать (низкую) цену, которая побуждает фирму производить больше, чем при оптимальной реакции на мощности другой фирмы (если она может это сделать).

Доказательство. Пусть pi – цена, назначенная фирмой i. Если фирма j назначает цену pj > pi, то фирма i назначает свою монопольную цену и фирма j не получит прибыли (тогда как она могла бы получить прибыль, назначив цену pi – ε). Если

фирма i может несколько повысить свою цену и получить прибыль

при ограничении по мощности. Если фирма i не ограничена по мощности, фирма j должна быть ограничена по мощности; по крайней мере одна фирма должна быть ограничена, так как в противном случае они сбили бы цены. Поэтому прибыль фирмы i составит

pi(D(pi) – ) = qiP(qi + ) ≤ Ri()Р(Ri() + ),

где неравенство следует из определения функции реакции. Если фирма j назначит цену pj < pi, прибыль фирмы i составит

pi(D(pi) – )

(или pi, если < D(pi) –; но, как отмечено выше, для фирмы со строго ограниченной мощностью выгоднее несколько повысить свою цену, поэтому нам не нужно рассматривать этот случай). Так как фирма i не ограничена по мощности, мы можем переписать ее прибыль как

qiP(qi + )

Но это прибыль Курно при выпуске поэтому, по определению функции реакции,

qi = Ri()

Следовательно, как утверждалось, pi = P( + Ri()). Лемма доказана.

Из лемм 1 и 2 следует, что равновесие в чистых стратегиях существует тогда и только тогда, когда при всех i

≤ Ri()

Чтобы убедиться в вышесказанном, допустим, что > Ri(), но предположим при этом, что равновесие в чистых стратегиях существует. Согласно лемме 1,

pi = P( + )

Тогда

pi <P( + Ri()),

что противоречит лемме 2; следовательно, в силу противоречия равновесие в чистых стратегиях не может существовать. Выше каждой кривой реакции единственное возможное равновесие – это равновесие в смешанных стратегиях (рис. 5.12). Напротив, если мощности лежат под обеими кривыми реакции, то р = р1 = р2 = P( + ) есть равновесие. Снижение цены не имеет смысла, так как фирмы не могут продать больше. Повышение цены означает, что продаваемое количество ниже оптимальной реакции:

p(D(p) –) = qiP(qi + )

и

qi ≤ ≤ Ri().

Рис. 5.12.

В частности, если мощности являются мощностями Курно () (которые соответствуют предельным затратам с), то равновесная цена составит Р(). В общем случае – в области чистых стратегий – функции прибыли в редуцированной форме имеют точную редуцированную форму Курно.

Последнее свойство не выполняется при пропорциональном рационировании. Предположим, что эти мощности есть мощности Курно () и что обе фирмы назначают цену р* ≡ P(). Прибыль фирмы 1 при р > р* составит

Следовательно, для фирмы 1 выгоднее всего назначить монопольную цену (максимизирующую pD(p)), которая, как следует из раздела 5.4, превышает цену Курно р*. Это означает, что анализ не может быть распространен на пропорциональное рационирование. См. подраздел 5.7.2.3.

За пределами области чистых стратегий мы должны искать равновесие в смешанных стратегиях. (Общие выводы относительно существования равновесии в смешанных стратегиях при разрывных функциях выигрыша см. в [14, 15].) Мы не будем воспроизводить построение равновесия Крепса и Шейнкмана. а лишь охарактеризуем равновесное поведение, с тем чтобы показать, что инвестирование в мощность за пределами области чистых стратегий нд первом этапе не соответствует интересам каждой фирмы.

Смешанную стратегию для фирмы i представляет функция распределения вероятностей цен Fi(pi) в некотором интервале [].* Чтобы быть оптимальной для фирмы i, такая стратегия должна представлять случай, когда выбираемые фирмой i цены – это только те цены, которые максимизируют ожидаемую прибыль фирмы i (т. е. все выбираемые цены приводят к одинаковому – оптимальному – выигрышу). Обсуждение смешанных стратегий см. в главе 11.

* В отечественной научной литературе односторонние пределы, а тем самым свойства полунепрерывности и разрыва функций распределения принято записывать так:

– Прим. ред.

Отметим, что Fi является возрастающей. Технически требуется, чтобы Fi(∙) была непрерывна справа, т. е. для всех pi

Атом в pi определяется так:

Равновесные распределения фактически имеют плотности с возможным атомом на верхней границе носителя.

Лемма 3. В области смешанных стратегий ( > Ri() по крайней мере для некоторой фирмы i) фирма с самой высокой мощностью (например, i) получает прибыль, равную своей «прибыли ведомого по Штакельбергу»:

Пi = ПF() = Ri()P( + Ri())

Доказательство леммы 3 (схема которого приведена ниже) слишком длинно и сложно; его следует пропустить при первом прочтении.

Доказательство (схема). Пусть и – верхний и нижний пределы носителя оптимальной стратегии фирмы i. Во-первых, покажем, что = ≡ и при цене каждая фирма продает в соответствии с мощностями или ее оппонент назначает цену с вероятностью 0. Если < , тогда, как известно из предыдущих рассуждений, должно быть монопольной ценой фирмы i. Так как монопольная прибыль составляет самую большую, которую может получить фирма i, она назначит цену с вероятностью 1, а фирма j никогда не получит прибыли; однако фирма j могла бы получить строго положительную прибыль, снизив цену до – ε, что противоречит предположению о том, что – нижняя граница носителя оптимальной стратегии фирмы j. Во-вторых, если фирма назначает цену с положительной вероятностью («разыгрывает атом»), для фирмы i будет выгоднее назначить цену – ε, если при цене она не может продавать в соответствии со своей мощностью. Таким образом, назначив цену, каждая фирма г может продать с вероятностью 1 . Так как – оптимальная цена,* прибыль фирмы i будет. Отметим, что > P( + ).

* По непрерывности, если р – infimum (infimum – точная нижняя грань. – Прим. ред.), а не минимум.

Теперь рассмотрим самые высокие цены: и. Предположим, что > или что = и что фирма j назначает цену с вероятностью 0. Прибыль фирмы i составит

(D() – ) = qiP(qi + )

где qi – количество, продаваемое по цене. Следовательно, qi = Ri(),* и прибыль фирмы i составит

ПF() ≡ Ri()P( + Ri()).

(Верхний индекс F связан с тем, что фирма i – «ведомый по Штакельбергу», т. е. она реагирует на выбор фирмой j величины, – см. главу 8). Но в ситуации равновесия в смешанных стратегиях все оптимальные для фирмы стратегии должны давать одинаковую прибыль, в частности

ПF() = . (5.16)

С другой стороны, предположим, что > . Тогда, назначая P( + Rj()), фирма j может гарантировать себе ПF(), так как мы находимся в области смешанных стратегий, так что > Rj(), и поскольку из < следует, что**

P( + Rj()) > P( + Ri()).

Таким образом, мы имеем

≥ ПF() (5.17)

Исключая, получаем ПF() ≥ ПF(). Простые алгебраические преобразования*** показывают, что ≥ – противоречие.

* Если qi > Ri(), фирма г могла бы повысить свою цену до

P( + Ri())

и получить большую прибыль. Если qi < Ri(), qi = и = P( + ) = , то равновесие находится в чистых стратегиях – противоречие.

** Следующее неравенство обусловлено тем, что кривые реакции идентичны и имеют наклон < 1, как нетрудно показать дифференцированием условий первого порядка для равновесия по Курно.

*** Предположим, < , откуда следует, что > Rj(), и рассмотрим

где R обозначает функцию реакции и используется теорема об огибающей (R(q) максимизирует прибыль фирмы, которая реагирует на q). Используя условие первого порядка для конкуренции по Курно, мы получаем

Если ≥ R(), тогда для всех q > имеем R(q) < R() ≤ < q и, таким образом, ∆ < 0. Затем предположим, что < R(). Из прим. 32 следует, что > R-1(). Для q из [R-1(),]

R(q) ≤ ≤ R-1 ≤ q

Следовательно,

– RP'(R – q)dq ≤ R-1()P( + R-1()) – R()P( + R()) < 0

так как R() – лучшая реакция на чем R-1()

Или каждая фирма играет изолированно при = – . Однако при равновесии в смешанных стратегиях > р; и из нашего предыдущего анализа > P(qi + qj]. Таким образом, при цене каждая фирма не может продавать в соответствии со своей мощностью со строго положительной вероятностью. Следовательно, каждой фирме было бы выгоднее назначить вместо цену немного ниже, чем.

Таким образом, мы заключаем, что фирма с самой высокой мощностью – скажем, i( ≥ ) – получает прибыль ПF().

Чтобы построить равновесие в смешанных стратегиях, можно искать функцию распределения вероятностей для каждой фирмы на некотором (совпадающем) интервале [,р], чтобы каждая фирма была безразлична к разыгрыванию любой цены в этом интервале (см. [35]). Нам не понадобится этого делать. Принимая во внимание приведенный выше анализ, нам следует только знать, что равновесие существует, однако нам нет необходимости беспокоиться о его конкретной форме.

5.7.2.2. Выбор мощностей

Теперь мы добавим предварительный и одновременный выбор мощностей; пусть c0 > 0 – удельные затраты на ввод мощности. Покажем, что исход Курно

( =q**, = q**)

где q** максимизирует

q[P(q + q**) – c0 – c]

есть равновесие (здесь с = 0).

Рис. 5.13 иллюстрирует кривые реакции, когда затраты на мощности являются поглощенными (sunk) и когда они таковыми не являются. Во втором периоде ценовой игры затраты на мощности будут уже поглощенными и, следовательно, не относятся к делу (прошлое есть прошлое). Каждая фирма предпочла бы выпустить на рынок больше продукции, чем в случае, если бы ей пришлось платить за мощности. Поэтому кривые реакции движутся вверх от первого ко второму шагу. В частности, R(q**) > q**, где R обозначает функцию реакции на втором шаге.

Рис. 5.13.

Предположим, что фирма i выбирает q**. Фирма j, если она выбирает q ≤ R(q**), получает

q[P(q + q**) – c0] ≤ q**[P(2q**)] – c0

где R все еще обозначает функцию реакции второго шага. Если q > R(q**), то фирма j получает ровно

ПF(q**) = R(q**){P[R(q**) + q**] – c0}.

Но, по определению, q**, q**(< R(q**)) – наилучшая реакция на первом шаге на q** . Поэтому

ПF(q**) ≤ q**[P(2q**) – c0]

Мы заключаем, что равновесие по Курно при затратах cq является равновесием первого шага в игре с мощностями. И, как следует из анализа ценовой игры, цена на втором шаге равна Р(2q**).

Доказательство единственности выбора мощностей требует дополнительной, но небольшой работы (см. [35]).

5.7.2.3. Обсуждение правила рационирования

Дэвидсон и Денекер [17] доказывают, что практически для любого правила рационирования, за исключением эффективного, исход Курно не может возникнуть как равновесие двухшаговой игры. В общих чертах их рассуждения можно описать следующим образом: если затраты на производство и ввод мощностей обозначить через с и c0, тогда условие первого порядка для максимизации прибыли фирмы 2 в игре Курно примет вид:

Р'(q1 + q2)q2 + P(q1 + q2) – с – с0 = 0

при q1 = q2 = q**. Пусть р** = P(2q**) – цена Курно, a D(p1| p2) – остаточный спрос фирмы 2, когда она назначает цену р2 ≥ р1. Отметим, что D(p**|p**) = = q**, если обе фирмы аккумулировали мощность Курно в первом периоде (необходимое условие для осуществления исхода Курно). Если предположить, что D(p2|p1) дифференцируемо по p2 справа от р1 и что обе фирмы накопили мощности Курно и назначили цену Курно р**, тогда увеличение прибыли фирмы 2, связанное с незначительным повышением цены
выше р**, пропорционально

A = D(p**|p**) +(p** – c) D'(p**|p**)

(Напомним, что инвестиционные затраты являются поглощенными во втором периоде).

Следуя Дэвидсону и Денекеру, предположим далее, что для р2, превышающего р**,

D(p2 |p**) > D(p2) – q**;

иными словами, остаточный спрос превышает спрос, получаемый с помощью правила эффективного рационирования. Суть состоит в том, что если рационирование мгновенно и беззатратно, то q** потребителей обслуживаются фирмой 1, а остальные обращаются к фирме 2. Самое плохое, что может случиться с фирмой 2, это то, что фирма будет обслуживать q** потребителей с самыми высокими оценками. Именно это и происходит при эффективном рационировании. Иными словами, эффективное рационирование дает самую низкую кривую остаточного спроса.*

* Здесь, конечно, необходимо вернуться к микрооснованиям рационирования. Если рационирование не является мгновенным и беззатратным, тогда можно рассмотреть остаточные спросы, которые для фирмы 2 даже хуже, чем спрос, связанный с эффективным рационированием, – к примеру, потребители могут сохранять свой заказ у фирмы 1 в надежде покупать по более низкой цене, если рационирование не мгновенно.

Сделаем чуть более сильное предположение, что

D'(p**|P**) > D'(p**) =

где левая часть относится к кривой остаточного спроса, а правая – к кривой обычного спроса. Используя условие первого порядка для равновесия по Курно, мы получаем

Теперь предположим, что c0 = 0. Тогда А > 0. Таким образом, у фирмы 2, скажем, есть стимул поднять цену выше цены, очищающей рынок при мощностях, соответствующих исходу Курно. Исход Курно не может быть равновесием двухшаговой игры. В общем случае это выполняется, если c0 мало и кривая остаточного спроса лежит достаточно выше кривой, полученной для правила эффективного рационирования.

5.7.2.4. Обсуждение последовательности ходов

Модель ценовой конкуренции, происходящей после конкуренции мощностей, отражает ту мысль, что цены корректируются быстрее, чем мощности. Таким образом, при выборе цен, возможно, имеет смысл рассматривать мощности как заданные. Однако важным предположением предыдущего анализа является то, что конкуренты наблюдают мощность фирмы до ценового шага. Тогда она действует как индикатор цены, которую фирма собирается назначить. Если мощности несовершенно наблюдаемы, это свойство исчезает и формально все происходит так, как будто мощности и цены выбираются одновременно (хотя это и не обязательно).

Гертнер [26] анализирует игры с одновременным выбором количества и цены. Каждая фирма i выбирает количество qi и цену pi без предварительного наблюдения выборов, сделанных конкурентами. Хотя Гертнер допускает убывающую и возрастающую отдачу от масштаба, мы сосредоточимся на более простом случае постоянной отдачи, когда для фирмы i производство количества qi стоит cq. Для простоты предположим, что имеются только две фирмы.

Очевидно, что равновесие в чистых стратегиях не существует. Логическая схема близко соответствует общему характеру рассуждений Бертрана– Эджуорта. Если бы существовало равновесие в чистых стратегиях, обе фирмы быяи. бы вынуждены продавать товар по одной и той же цене. В противном случае фирма с низкой ценой (скажем, фирма i) получила бы весь рынок; зная, что другая фирма назначает более высокую цену, она бы уверенно смогла удовлетворить весь спрос по своей, чуть меньшей цене. Однако либо pi = с и фирма i улучшила бы свое положение, хотя бы немного повысив цену, либо pi > с и фирма j могла бы получить строго положительную прибыль, продавая товар по меньшей цене, чем фирма i. Далее, при равновесии в чистых стратегиях было бы необходимо, чтобы = = с; если бы рыночная цена превышала с, каждая фирма могла бы увеличить свою прибыль, назначив чуть меньшую цену и покрыв весь рынок. Но конкурентная цена также не может быть равновесной. По крайней мере одна фирма будет предлагать строго меньше, чем D(c) (иначе фирмы будут терять деньги); поэтому другая фирма могла бы немного повысить цену, заполучить покупателей и извлечь положительную прибыль.

Гертнер показывает, что (единственное) равновесие в смешанных стратегиях существует. Оно подобно равновесию по Бертрану в том отношении, что фирмы получают нулевую ожидаемую прибыль.* Оно напоминает равновесие по Курно в том отношении, что ожидаемая цена превышает конкурентную цену с. (Второй результат вытекает из того факта, что фирмы никогда не назначают цену ниже с и (с, с) не является равновесием.) Качественное отличие от случа. я, когда количества (мощности) наблюдаемы, состоит в том, что фирма не может принять на себя обязательство не «наводнять рынок», выбрав ограниченные мощности. Это повышает конкурентное давление и снижает прибыль, как при равновесии по Бертрану. Фирма, которая в конце концов назначает самую низкую цену, снабжает весь рынок и получает положительную прибыль, а фирма с более высокой ценой получает отрицательную прибыль (производит и не продает). Следующее упражнение демонстрирует логику этого доказательства.

* При убывающей отдаче (возрастающих предельных затратах) фирмы получают прибыль.

Упражнение 5.9(**). Рассмотрим одновременную количественно-ценовую игру двух фирм. Пусть обозначает верхнюю границу (supremum) цен, при которых имеется спрос: D() = 0. Найдите равновесие в смешанных стратегиях.