Екологічна безпека України: системний аналіз перспектив покращення (стр. 24 )

Коефіцієнти kij  0 - функції перенесення, вони відповідають швидкості перенесення техногенних сполук за одиничної їх концентрації в і-тому компартменті. При j  i, kii =  0.

У випадку, коли компартментний підхід застосовується до моделювання міграції техногенних сполук, вважається, що інтенсивність переходу полютантів з i-го компартмента в j-й пропорційна концентрації полютантів в i-му компартменті.

Нині існують кілька підходів до визначення функцій переносу. Найпростішим і найчастіше використовуваним з них є заміна функцій kij константами, що відповідають середнім значенням цих функцій на деякому відрізку часу:

kij = (1/T)dt.

Отримані константи залежать від періоду усереднення, оптимальний вибір якого часто пов’язаний з певними проблемами. На практиці обирається усереднення, за якого дотримується стійкість параметрів.

Розглянемо найпростішу модель, що враховає наведене вище стосовно системи "довкілля-людина" і призначена для вивчення стійкості екосистеми України. На рис. 6.1 наведено спрощену схему масопереносу полютантів в екосистемі.

Рис. 6.1. Схема масопереносу ксенобіотиків в екосистемі України

Функції kijxi(t) є інтенсивностями потоків техногенних сполук між компартментими і у загальному вигляді залежать від цілого ряду ендогенних і екзогенних чинників.

На рис. 6.1 наведено спрощену схему обміну антропогенними сполуками між основними компартментами екосистеми України. Математична модель обміну цими сполуками вимагає врахування, передусім, найістотніших причинно-наслідкових зв'язків. При опрацюванні даної моделі враховано найбільш фундаментальні біогеохімічні процеси, які в ній відбуваються, основні принципи і властивості екологічної безпеки [21], а також той факт, що в Україні існують не тільки локалізовані джерела забруднення, а й масштабні. Тому спроба побудови більш складної моделі може призвести до її надмірної деталізації.

6.2.4. Стійкість та періодичність розв'язків компартментної моделі

Позначимо через x(t) вектор-функцію вигляду x(t) = (m1(t), ..., m7(t))T, а через А і В відповідно матриці А = (аij) , , причому коефіцієнти aij визначаються із системи рівнянь для mi(t), а b11 = 1, b12 = 0, b13 = 0, b21 = 0, b22 = 1, b23 = 0, b31 = 0, b32 = 0, b33 = 1, bij = 0 при i > 3. Уведемо також вектор-функцію M(t) = (M1(t), ..., M3(t))T. Тоді систему диференційних рівнянь для mi(t), можемо записати у векторній формі

.

(6.1)

Розглянемо спочатку стійкість та періодичність розв'язків однорідного рівняння

(6.2)

Введемо многочлен ( ) = det ( E - A), або

.

Твердження 1. Якщо det A  0, то отримаємо співвідношення A1 = sp A, , A3 = -det A sp A-1[sp A-1 sp2 A-1 - 3sp A-1 sp A-2] - det [- sp A-2 sp A-1 + 3sp2 A-2 - 2sp2 A-1 sp A-2 + 6sp A-1 sp A-3 - 6sp A-1 sp A-4], A4 = det A [sp A-1 sp2 A-1 - 3sp A-1 sp A-2- 2sp A-3], A5 = det A [sp A-2 - sp2 A-1], A6 = det A sp A-1, A7 = det A .

Доведення. Зауважимо, що коефіцієнт ak при  k можна визначити із умови . Крім того мають місце співвідношення

; і т. п., з яких одержимо відповідні рівності.

Наведемо деякі умови асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи (6.2) [10].

Твердження 2. Для асимптотичної стійкості нульового розв'язку системи (2) необхідно, щоб виконувалися нерівності А1 < 0, А2 > 0, А3 < 0, А4 > 0, А5 < 0, А6 > 0, А7 < 0. Необхідно і достатньо, щоб детермінанти головних мінорів матриці Гурвіца - Г, були додатні, де

	A1	1	0	0	0	0	0
	-A3	A2	-A1	1	0	0	0
	-A5	A4	-A3	A2	-A1	1	0
ÃÃ =	-A7	A6	-A5	A4	-A3	A2	-A1
	0	0	-A7	A6	-A5	A4	-A3
	0	0	0	0	0	-A7	A6
	0	0	0	0	0	0	-A7.

Наслідок. Для асимптотичної стійкості необхідно, щоб виконувалися умови: А1 < 0, = -A1A2 + A3 > 0, = (A1A2 - - A3)A3 - (A5 - A1A4)A1 > 0.

Позначимо далі через  1, ...,  7 корені рівняння Р( ) = 0. Відомо, якщо Re  i = 0, то розв'язок рівняння (6.2) стійкий, а якщо існують корені з Re  i = 0, то у системи (6.2) є періодичний розв'язок.

Твердження 3. В системі (6.2) існують періодичні розв'язки, а якщо det A < 0, то існують асимптотично стійкі розв'язки, а при det A > 0 - необмежені розв'язки.

Доведення. Многочлен Р( ) непарної степені і тому існує принаймні один дійсний корінь рівняння Р( ) = 0, а це означає, що при Р(0) = - det A > 0 корінь рівняння від'ємний, а при Р(0)<0 - додатній, і відповідні розв'язки асимптотично стійкі та необмежені.

Твердження 4. Припустимо, що система рівнянь

(6.3)

має розв'язок. Тоді існує періодичний розв'язок системи (6.2). В противному разі періодичних розв'язків не існує.

Доведення. Очевидно, що система (6.2) має періодичний розв'язок, коли для алгебраїчного рівняння Р( )=0 існує корінь  =i . З умови Р(і )=0 одержимо систему рівнянь (6.3).

Теорема 1. Нехай функція M(t) періодична з періодом Т, а система рівнянь (6.3) не має розв'язків. Тоді неоднорідна система (6.1) має єдиний Т-періодичний розв'язок, який може бути записаний так:

,

де:

G(t,  ) = X(t)(E - X(T))-1X-1( );

0    t  T; G(t,  ) = X(t + T)[E - X(T)]-1X-1( ); 0  t    T, а матриця X(t)- розв’язок рівняння

, X(0) = E.

Доведення теореми випливає з [10, теор. 1, с. 215].

Теорема 2. Нехай система рівнянь (6.3) допускає k розв'язків  1, ...,  k, причому при деякому цілому ri виконується умова , . Рівняння (6.1) має Т-періодичний розв'язок тоді, коли виконуються умови ортогональності

Доведення. Якщо рівняння (6.3) має k розв'язків  1, ...,  k, то його система диференційних рівнянь має 2k лінійно незалежних розв'язків: Xi(t) = sin itc1, Xi(t) = cos itc2, причому ці розв'язки є Т-періодичними виконуються умови ортогональності функції BM(t), отже існує Т-періодичний розв'язок системи (6.1) [10, с. 217].

Теорема Массера. Якщо система (6.1) з Т-періодичною функцією М(t) має обмежений розв'язок, то у цієї системи існує Т-періодичний розв'язок.

Наслідок. Якщо неоднорідна система з Т-періодичною функцією M(t) не має Т-періодичних розв'язків, то всі розв'язки цієї системи необмежені. Тоді має місце наведена нижче теорема.

Теорема. Нехай однорідна система (6.2) асимптотично стійка, а вектор-функція M(t) неперервна та обмежена при t  (- ,  ). Тоді , де .

Доведення теореми див. [10, с. 282].

Зауваження. Функція  (t) є граничною функцією для x(t). Якщо M(t) - періодична функція з періодом Т, то функція  (t) також періодична з періодом Т. Крім того, у розглянутому випадку функція x(t) обмежена, незалежно від того, періодична функція M(t) чи ні.

 - наближені розв'язки системи (6.1).

Припустимо, що внесок водної біоти та підземної води малий порівняно з внеском інших чинників, тобто k43 ~  , k63 ~  . Якщо = 0, система рівнянь для вектора (m1, m2, m3, m5)T = x(t), тобто , де:

; .

Відповідний многочлен P( ) буде мати вигляд:

,

де А1 =k11 + k22 + k33 + k55; ;

A3 = det A sp A-1, A4 = -det A.

Необхідна і достатня умова асимптотичної стійкості у нашому випадку буде мати вигляд:

А1 < 0, A1A2 - A3 < 0; (A1A2 - A3) A3 + > 0; det A < 0.