Екологічна безпека України: системний аналіз перспектив покращення (стр. 31 )

8.2. Q-аналіз системи екологічної безпеки

Розглянемо важливе для розуміння структури екологічної безпеки поняття q-зв'язку. Згідно визначення, поданого у попередньому розділі, симплеційний комплекс - це математичне узагальнення поняття планарного графа, що відображає багатомірну природу бінарного відношення у системі екологічної безпеки. Оскільки симплеційний комплекс є множиною симплексів, з'єднаних між собою за допомогою спільних граней, то за характеристику зв'язку можна брати величину грані, спільної для двох симплексів. Але нас цікавить комплекс загалом, тому доцільніше використати при цьому поняття ланцюга зв'язку, яке віддзеркалює той факт, що два симплекси можуть і не мати спільної грані, але зв'язуватимуться через послідовність проміжних симплексів.

Враховуючи наведене вище, поняття q-зв'язку може бути визначено таким чином [8]. Вважати, що задана пара симплексів  p,  r  К зв'язана у ланцюг, коли існує скінчена послідовність симплексів , , ...,, що:

1. - грань симплекса  p;

2. - грань симплекса  r;

3. і - відокремлені спільною гранню симплекси, наприклад, , для i = 1, ,...,(h - 1).

Вважатимемо, що цей ланцюг зв'язку є q-зв'язком, якщо q є найменшим з цілих чисел {a1,  1,  2, ...,  h-1, ah}.

Очевидно, що симплекс  p має розглядатися як р-зв'язаний сам із собою, незважаючи на те, що не може бути (р+1)-зв'язаним з жодним іншим симплексом. Можна показати, що якщо  p і  r q-зв'язані, то вони також (q-1), ..., 1 та 0-зв'зані у К [3].

Процес виділення найбільших частин комплексу К, які q-зв'язані для всіх значень q, від 0 до dimK, передбачає виділення симплексів із К на кожному рівні q. Таким чином, можна ввести на симплексах із К відношення  q, що визначається таким чином: (  p,  r)   q тоді і тільки тоді, коли симплекс  p q-зв'язаний з  r. Відношення  q рефлексивне, симетричне і транзитивне, а тому є відношенням еквівалентності. Класи еквівалентності для відношення  q є елементами фактор-множини (К q) і визначають розбиття комплексу К. Позначимо число елементів множини (К q) через Qq; воно дорівнює кількості різних q-зв'язаних компонент у К. Ця операція називається q-аналізом комплексу К, а вектор Q = (QdimK, ..., Q1, Q0) - першим структурним вектором комплексу.

Алгоритм знаходження значень q (табл. 8.2, 8.3) для спільних граней усіх пар симплексів екологічної безпеки у К і алгоритм одержання значень Qq використовує матрицю инцидентності  , що визначає К [8]. Очевидно, якщо множини Y і X мають m і n елементів відповідно, то матриця  є матрицею розміром (m n), яка складається з нулів та одиниць. Добуток   Т - число, що стоїть на місці (i, j) - є скалярним добутком рядків i та j матриці  . Воно дорівнює числу одиниць, що знаходяться на одних і тих самих місцях у рядках i та j матриці  і відповідає значенню (q+1), де q - розмірність спільної грані симплексів  p і  r, заданих рядками i та j. Таким чином, суть алгоритму така: для знаходження q-спільних граней усіх пар Y-симплексів у КY (X;  ) необхідно:

1. Скласти матрицю   Т розміром (m m);

2. Оцінити   Т -  , де  = ( ij), а  ij = 1 для i, j = 1, 2, ..., m.

Цілі числа на діагоналі є розмірностями симплексів Y, а Q-аналіз здійснюється перевіркою інших комбінацій стовпчиків та рядків. Таким чином, маємо dimK = 26, оскільки Y3, Y7, Y14, Y16, Y24, Y26 - симплекси розмірності 26 і

при q = 26, Q26 = 1, а саме {Y3, Y7, Y14, Y16, Y24, Y25, Y26, Y31, Y32};

при q = 25, Q25 = 1, а саме {Y16, Y27, Y28, Y29, Y31, Y32};

при q = 24, Q24 = 1, а саме {Y3, Y8, Y9, Y14, Y16, Y24, Y25, Y26,Y27, Y28, Y29, Y31, Y32};

при q = 23, Q23 = 1, а саме {Y1, Y3, Y7, Y8, Y9, Y10, Y14, Y16, Y17, Y24, Y25, Y26, Y27, Y28, Y29, Y31, Y32};

при q = 22, Q22 = 1, а саме {Y3, Y6, Y7, Y14, Y16, Y24, Y25, Y26, Y27, Y28, Y29, Y31, Y32};

при q = 20, Q20 = 1, а саме {Y2, Y3, Y6, Y7, Y8, Y9, Y11, Y14, Y16, Y17, Y20, Y24, Y25, Y26, Y28, Y29, Y31, Y32};

при q = 19, Q19 = 1, а саме {Y1, Y6, Y16, Y17,Y19, Y20, Y21, Y24,Y25, Y28, Y29, Y31, Y32};

при q = 18, Q18 = 1, а саме {Y6, Y13, Y14, Y15, Y16, Y17, Y20, Y22, Y24, Y25, Y27, Y28, Y29, Y31, Y32};

при q = 17, Q17 = 1, а саме {Y1, Y2, Y3, Y7, Y11, Y12, Y13, Y14, Y16, Y17, Y18, Y19, Y20, Y22, Y23, Y24, Y25, Y26, Y27, Y28, Y29, Y31, Y32};

при q = 16, Q16 = 1, а саме {Y1, Y2, Y3, Y7, Y11, Y13, Y16, Y18, Y19, Y20, Y22, Y23, Y24, Y25, Y26, Y27, Y28, Y29, Y31, Y32};

при q = 14, Q14 = 1, а саме {Y1, Y2, Y3, Y7, Y8, Y9, Y10, Y11, Y12, Y13, Y16, Y17, Y20, Y22, Y24, Y25, Y26, Y27, Y28, Y29, Y31, Y32};

при q = 13, Q13 = 2, а саме {Y1, Y3, Y7, Y30, Y31, Y32}, {Y2, Y4, Y6, Y11, Y12, Y18, Y19, Y23};

при q = 11, Q11 = 1, а саме {Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y7, Y8, Y9, Y10, Y12, Y14, Y16, Y18, Y19, Y20, Y21, Y22, Y23, Y24, Y25, Y26, Y27, Y28, Y29, Y30, Y31, Y32};

Таблиця 8.2

q-значення симплексів комплексу KY (X; l ) – механізми екологічної безпеки України

Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8	Y9	Y10	Y11	Y12	Y13	Y14	Y15	Y16	Y17	Y18	Y19	Y20	Y21	Y22	Y23	Y24	Y25	Y26	Y27	Y28	Y29	Y30	Y31	Y32
23	17	23	11	11	19	23	22	22	23	17	14	17	23	4	4	23	21	16	19	19	11	17	16	23	22	23	23	22	22	14	23	Y1
	20	20	16	11	16	20	20	20	14	20	16	11	20	-	20	20	14	14	14	11	11	11	20	16	20	24	20	20	4	20	20	Y2
		26	16	11	22	26	24	24	14	20	16	18	26	4	26	23	17	19	20	11	18	17	26	22	26	25	25	25	14	26	26	Y3
			16	11	16	16	16	16	11	16	14	11	16	-	16	16	11	11	11	11	11	14	16	11	16	16	16	16	4	16	16	Y4
				11	11	11	11	11	11	11	11	4	11	-	11	11	4	4	4	4	26	4	11	4	11	11	11	11	4	11	11	Y5
					22	22	20	20	11	16	11	14	22	4	22	19	14	14	16	4	14	14	11	18	22	22	22	22	11	22	22	Y6
						26	24	24	14	20	16	18	26	4	24	23	17	19	11	11	18	17	26	22	26	24	24	24	14	26	26	Y7
							24	24	14	20	16	16	24	4	24	23	16	14	18	11	16	16	14	11	24	24	24	24	11	24	24	Y8
								24	14	20	16	16	24	4	24	23	16	15	18	11	16	16	14	11	24	24	24	24	11	24	24	Y9
									14	14	11	11	14	-	14	14	11	11	11	11	11	11	14	14	14	14	14	14	4	14	14	Y10
										20	16	11	20	-	20	20	11	11	14	11	11	11	20	16	20	24	20	20	11	20	20	Y11
											16	11	16	-	16	16	11	11	11	11	11	11	16	11	16	16	16	16	4	16	16	Y12
												18	18	4	18	16	15	16	16	11	14	14	18	16	18	17	17	17	11	18	18	Y13
													26	4	24	23	17	19	11	11	18	17	26	22	26	24	24	24	23	26	26	Y14
														4	4	4	4	4	4	-	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	Y15
															26	23	17	19	11	11	18	17	26	22	26	24	24	24	14	26	26	Y16
																23	16	19	18	11	15	15	23	19	23	23	23	23	11	23	23	Y17
																	17	14	16	11	14	14	16	17	16	16	16	16	11	16	16	Y18
																		19	18	11	17	16	19	19	19	18	18	18	11	19	19	Y19
																			20	11	17	16	20	20	20	19	19	19	11	20	20	Y20
																				11	11	11	11	11	11	11	11	11	4	11	11	Y21
																					18	17	18	18	18	17	17	17	11	18	18	Y22
																						17	17	17	17	17	17	17	17	17	17	Y23
																							26	22	26	24	24	24	14	26	26	Y24
																								22	22	21	21	21	14	22	22	Y25
																									26	25	25	25	14	26	26	Y26
																										25	25	25	14	25	25	Y27
																											25	25	14	25	25	Y28
																												25	14	25	25	Y29
																													14	14	14	Y30
																														25	25	Y31
																															25	Y32

при q = 4, Q4 = 1, а саме {Y1, Y3, Y5, Y6, Y7, Y8, Y9, Y13, Y14, Y15, Y16, Y19, Y20, Y22, Y24, Y25, Y26, Y30, Y31, Y32}.