Методическая рекомендация по информатике (стр. 3 )

·  простоту оперирования числами;

В зависимости от способов изображения чисел цифрами, системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. Непозиционной системой называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа (римская система счисления). Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе (арабская система счисления). Количество знаков или символов, используемых для изображения числа, называется основанием системы счисления.

Позиционные системы счисления имеют ряд преимуществ перед непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических операций, а также представление больших чисел, поэтому в цифровой технике применяются позиционные системы счисления.

Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно Р, то система счисления называется Р-ичной:

Данная запись представляет собой расширенную запись числа Х. Расширенная запись любого числа – сумма произведений коэффициентов на основание СС в степени позиции цифры в числе.

Любая позиционная СС характеризуется своим основанием. За основание можно принять любое натуральное число -2, 3, …, следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем.

Люди используют десятичную систему, а компьютеры – двоичную, потому что она имеет ряд преимуществ перед другими СС:

o  для её реализации достаточно технического устройства с двумя устойчивыми сигналами: есть ток (1), нет (0) и т. д.;

o  представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

o  возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации:

o  двоичная арифметика много проще десятичной.

Недостаток: быстрый рост числа разрядов.

В двоичной системе счисления используются только два символа, что хорошо согласуется с техническими характеристиками цифровых схем. Действительно очень удобно представлять отдельные составляющие информации с помощью двух состояний:

Отверстие есть или отсутствует (перфолента или перфокарта); Материал намагничен или размагничен (магнитные ленты, диски); Уровень сигнала большой или маленький.

Существуют специальные термины, широко используемые в вычислительной технике: бит, байт и слово.

Битом называют один двоичный разряд. Крайний слева бит числа называют старшим разрядом (он имеет наибольший вес), крайний справа – младшим разрядом (он имеет наименьший вес). Восьмибитовая единица носит название байта.

Многие типы ЭВМ и дискретных систем управления перерабатывают информацию порциями (словами) по 8, 16 или 32 бита (1, 2 и 4 байта). Двоичное слово, состоящее из двух

байт, показано на рисунке 1 .

 

Рис. 1 Бит, байт и слово

 

Представление двоичных чисел и перевод их в десятичные

Чтобы перевести число из любой системы в десятичную, надо представить число в расширенной записи и сосчитать.

Совершенно очевидно, что двоичное число представляется последовательностью нулей и единиц – разрядов. Как и в любой позиционной системе, каждому разряду присвоен определенный вес – показатель степени основания системы. Веса первых 10 позиций представлены в таблице 1.

Таблица 1. Вес первых десяти позиций двоичной системы счисления

Позиция	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Вес	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
Образование

В двоичной системе счисления даже сравнительно небольшие числа занимают много позиций.

Как и в десятичной системе, в двоичной системе счисления для отделения дробной части используется точка (двоичная точка). Каждая позиция слева от этой точки также имеет свой вес – вес разряда дробной части числа. Значение веса в этом случае равно основанию системы счисления (т. е. двойке), возведенному в отрицательную степень.

Получить десятичное число из двоичного чрезвычайно просто. Согласно формуле 2.3 для двоичной системы счисления получаем:

Пример. Перевод двоичного числа в десятичное

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Перевод из двоичной системы в десятичную несколько сложнее. Рассмотрим несколько алгоритмов.

Метод вычитания

Из десятичного числа вычитаются наибольшая возможная степень двойки, в соответствующий разряд двоичного числа записывается единица, если разность меньше следующей степени двойки, то далее записывается нуль, а если больше записывается единица и опять производится вычитание, и так до тех пор, пока исходное число не уменьшится до нуля.

Пример. Перевод десятичного числа в двоичное методом вычитания

Метод деления

Другим методом является так называемый метод деления. Он применяется для преобразования целых чисел (результатом перевода целого числа всегда является целое число). Ниже приведен его алгоритм.

Разделим нацело десятичное число на двойку. Если есть остаток, запишем в младший разряд единицу, а если нет – нуль и снова разделим результат от первого деления. Повторим процедуру так до тех пор, пока окончательный результат не обнулиться.

Пример. Перевод десятичного числа в двоичное методом деления

	2
148	–74	2
1	74	–37	2
	0	36	–18	2
		1	18	–9	2
			0	8	–4	2
				1	4	–2	2
					0	2	–1	2
						0	0	0
							1		старший разряд
(10010101)2=(149)10	ответ

Метод умножения

И, наконец, метод умножения. Метод применяется для преобразования десятичных дробей, т. е. чисел меньших единицы. Такие дроби также называются правильными, т. е. имеющими нулевую целую часть (числитель меньше знаменателя). Результат перевода правильной дроби всегда правильная дробь.

Число умножается на 2, если результат ³ 1, то в старший разряд записывается единица, если нет, то нуль. Умножаем на 2 дробную часть результата и повторяем процедуру. И так далее до получения нужной степени точности или до обнуления результата.

Пример. Перевод десятичного числа в двоичное методом умножения

Двоичная система счисления	Восьмиричная система счисления	Десятичная система счисления	Шестнадцатиричная система счисления
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной системы в двоичную