Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 10 )

Таким образом, для любой формы , для почти всех   определен интеграл

Для того, чтобы выяснить, для каких слоев определен  воспользуемся фундаментальной теоремой Лебега ([47]) и определением интеграла для случая q>m (см., например, [46]). Тогда получаем следующее:

Пусть – n-мерное гладкое компактное ориентируемое многообразие с краем , совпадающим с теоретико-множественная границей X, край обладает индуцированной ориентацией. В силу того, что

пространства и совпадают, интеграл определен выше.

Пусть и выполнено условие существования :

В следующей теореме описаны условия, при выполнении которых справедлива формула Стокса для суммируемых форм, имеющих слабый суммируемый дифференциал.

Теорема 3. Для описанного выше многообразия X, и формы   справедлива формула

Теорема 4. Для каждого 1≤ q<m, q≤p существует  постоянная C, зависящая только от X, m, k, p, q, такая, что для всех Bm(R)⊂Rm и для всех ω∈Wkp, q(X×Bm(R)) выполнено неравенство

где , и .

1.4.2  Цель исследования – изучение нового класса отображений, который можно рассматривать, естественным образом обобщающий класс отображений с ограниченным искажением. Новый класс отображений служит новым средством для классификации римановых многообразий.

  1.5 Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли

1.5.1 В рамках анонсированных на данный этап задач были проведены следующие теоретические исследования.

1) Для одной системы векторных полей изучена зависимость между их областью определения, константой в обобщенном неравенстве треугольника и показателями анизотропности квазиметрики. Для этих целей было введено понятие обобщенного неравенства треугольника в точке, и найдены условия для его выполнения.

В некоторой области O, принадлежащей евклидовому пространству RN рассмотрим набор Cr - гладких базисных векторных полей X1,…,XN, т. е. набор таких векторных полей, значения которых в каждой точке g, принадлежащей O, образуют базис касательного пространства TgO. Векторные поля  X1,…,XN некоммутирующие, т. е.  всюду в O  имеет место следующая таблица коммутаторов

  [Xk, Xl]=∑j=1N CkljXj,  Cklj Cr-1(O),  (42)

где функции Ckljне равны нулю тождественно. Для каждого положительного N-мерного вектора б=(б1,...,бN), где координаты вектора б упорядочены по возрастанию и больше либо равны 1,  определим на области O квазиметрику dб (анизотропную метрику) следующим образом

dб (u, v)=max{|ai|1/бi, i=1,...,N}, где  v=exp(a1X1+...aNXN)(u),  ai=const;  (43)

в силу известных теорем о диффеоморфности экспоненциального отображения такие константы ai существуют и единственны,  величины 1/бi играют роль показателей анизотропности метрики dб вдоль направлений Xi.  Напомним, см., например, [48] что неотрицательная функция d, определенная на AЧA, где A─ некоторое множество, называется  квазиметрикой, если:

1) величина d(u, v) больше либо  равна 0 (аксиома неотрицательности);  d(u, v)=0 тогда и только тогда, когда u=v (аксиома тождества);

2) d(u, v)≤ c1d(v, u) для некоторой константы c1, не зависящей от выбора u, v; в случае, когда c1=1, говорят, что d удовлетворяет  аксиоме симметричности;

3)  d(u, v) ≤ c2 (d(u, w)+d(w, v)) для некоторой константы c2, не зависящей от выбора u, v,w (обобщенное неравенство треугольника).

В случае, когда c1= c2=1, функцию d называют метрикой.

       В предыдущий отчетный период нами были найдены необходимые и достаточные условия в терминах таблицы (0.1)  и соотношений между компонентами вектора б для того, чтобы метрическая функция dб являла собой квазиметрику. За отчетный период для квазиметрик вида (0.2), индуцированных базисными векторными полями  X1=(1,0,0,xy),X2= (0,1,0,xy), X3=(0,0,1,0), X4=(0,0,0,1) ,  изучена взаимосвязь между их областью определения, константой в обобщенном неравенстве треугольника и показателями анизотропности квазиметрики. Для  этих целей нами введено следующее понятие. Неотрицательная функция f, определенная на AЧA, удовлетворяет обобщенному неравенству треугольника в точке u, если найдется константа Qu(f) такая, что для всех точек g, v, принадлежащих множеству A, выполняется f(u, v)≤ Qu (f(u, g)+ f(g, v)). Нами рассмотрены следующие квазимертики d1(u, v)=max{|ai|},  d2(u, v)=max{|a1|, |a2|, |a3|1/2, |a3|1/2}, 

d3(u, v)=max{|a1|, |a2|, |a3|1/2, |a3|1/3}, индуцированные векторными полями  X1,X2, X3, X4, введенными выше, по правилу (43).

Утверждение 1. 10  В точках u=(x, x,t, z)  функция Qu(d3) ограничена некоторой константой Q, на множестве R4\ {(x, x,t, z)} функция Qu(d3) равна бесконечности; 20 функции d1,  d2 удовлетворяют обобщенному неравенству треугольника на каждой ограниченной области O из R4.

Результат утверждения 1 проанализирован с точки зрения существования так называемого нильпотентного касательного конуса. А именно, рассмотрим таблицу (0.1) для векторных полей X1,X2, X3, X4 в точке (0,0,0.0). Нетрудно проверить, что в этом случае Cklj=0 для всех i, j,k. Заметим, что каноническая алгебра Ли со структурными константами, тождественно равными 0, − стандартное евклидово пространство R4. Тогда в точке 0=(0,0,0,0), принадлежащей области определения векторных полей X1,X2, X3, X4 , мы можем формально определить  нильпотентный касательный конус с векторным полям X1,X2, X3, X4 как группу Ли G, соответствующую векторным полям (И0)*ei, i=1,2,3,4, где ei − стандартные евклидовы орты пространства R4, И0 − экспоненциальное отображение, индуцированное векторными полями X1,X2, X3, X4, с центром в точке 0. Однако векторные поля (Д1/е0)*еdeg XiXi не сходятся к векторным полям (И0)*ei, i=1,2,3,4, при е→0, где Дt0 = И0 ◦дt◦ И0, дt(a, b,x, y)=(tdegX1a, tdegX2b, tdegX3x, tdegX4y),

deg X1=degX2=1, deg X3=2, deg X4=3, хотя имеет место следующее

Утверждение 2.  (Д1/е0)*еdeg XiXi (uе)= Xi (u), где uе= И0(еdegX1a, еdegX2b, еdegX3x, еdegX4y), u= И0(a, b,x, y) ∈ Box3(0, е0)={u∈ R4 | d3(0,u)<е0}.

       При этом имеет место следующее

Утверждение 3.  Если deg X1=degX2=1, deg X3=deg X4=2, то при е→0 мы имеем на множестве  Box2(0, е0)={u∈ R4 | d2(0,u)<е0} следующие равномерные сходимости (Д1/е0)*еdeg XiXi (uе)→(И0)*ei (u), i=1,2,3,4,

  u= И0(a, b,x, y) ∈ Box2(0, е0),  [(Д1/е0)*еdeg XiXi,(Д1/е0)*еdeg XjXj ]→0,

2) Для  2-ступенчатых групп  Карно доказано, что их шары в метрике Карно − Каратеодори удовлетворяют условию  внутреннего  cc-однородного конуса. 

Области, удовлетворяющие условию конуса, важны  в теории пространств Соболева в теоремах вложения и интегральных представлениях  типа Соболева через интегралы от самой функции и всех ее производных данного порядка. Области, удовлетворяющие условиям  внутреннего и внешнего конусов, а также их обобщения (NTA-области, введенные Джерисоном и Кенигом [49]) играют важную роль в гармоническом анализе на евклидовых пространствах. Понятие однородного конуса в метрике Карно−Каратеодори (cc-однородный конус) одними из первых ввели Л. Капонья и Н. Гарофало [50] в 1995-1998 гг. в работах, связанных с граничным поведением решений субэллиптических уравнений на пространствах Карно−Каратеодори [51]. Примером таковых пространств являются группы Карно [52], в частности, группы Гейзенберга, снабженные метрикой Карно−Каратеодори. Отметим, что в работах [50]  на двуступенчатых группах Карно был построен достаточно широкий класс ограниченных областей, удовлетворяющих условию однородного конуса; таковыми, в частности, являются области с C1,1- гладкой в обычном смысле границей. Существенным при построении таких примеров является то, что  интегральные линии левоинвариантных векторных полей двуступенчатых групп Карно − обычные прямые линии. Однако данный факт не имеет места для групп Карно ступеней выше, чем 2, поэтому исследование ограниченных областей с гладкой границей на предмет их принадлежности классу областей, удовлетворяющих условию внутреннего однородного конуса затруднительно.  Поэтому актуален поиск областей, удовлетворяющих  условию cc-внутреннего однородного конуса, в классе областей с негладкой границей, тем не менее удовлетворяющих хорошими с точки зрения внутренней геометрии группы Карно  метрическими свойствами. Таковыми областями являются, например, шары в метрике Карно − Каратеодори группы Карно. Такую задачу мы решаем  для 2-ступенчатых  группалгебр Карно (каноническая реализация групп Карно).  2-ступенчатую группалгебру Карно G мы можем рассматривать как евклидово пространство  RN с системой координат (x1,….xN) =x и следующей групповой операцией