Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 16 )

Теорема 1.3. Сферическое изображение всякой - гладкой нормальной развертывающейся поверхности в  имеет площадь (двумерную меру Лебега) ноль.

Напомним, что сферическим изображением поверхности S называется множество {n(x)|x∈S}, где символом n(x) обозначается единичный вектор нормали к поверхности S в точке x.

Из Теорем 1.1–1.3 и классических результатов (см. [87, глава 9]) непосредственно вытекают следующие утверждения.

Следствие 1.4. Пусть сферическое изображение - гладкой поверхности в  не имеет внутренних точек. Тогда эта поверхность является поверхностью нулевой внешней кривизны в смысле Погорелова.

Следствие 1.5. Всякая - гладкая нормальная развертывающаяся поверхность в  является поверхностью нулевой внешней кривизны в смысле Погорелова.

Последнее утверждение дает ответ на вопрос, поставленный (см. [88, Замечание 2]).

Для теории отображений с конечным искажением существенным является следующий результата

Теорема 2.1. Пусть — компактное множество топологической размерности не выше 1. Предположим, что существует число λ>0 такое, что

       

Тогда для каждого липшицева отображения  области, удовлетворяющего условию ∇f(x)∈K для почти всех (п. в.) x∈Ω, справедливо тождество ∇f≡const.

Многие частные случаи Теоремы 2.1 (например, когда K=SO(2) или K есть отрезок) хорошо известны (см., например, [89]).

Равномерную ограниченность отношений нельзя заменить их конечностью, как показывает следующий простой

Пример 2.2. Рассмотрим  отображение

a,

где Ω={(x, y)|-y<x<0}. Элементарная проверка показывает, что K=Cl ∇f(Ω) есть компактное множество с топологической размерностью 1 (оно является гладкой дугой), и det(A-B)>0 для любой пары A, B∈K, A≠B.

За последний год получен ряд фундаментальных результатов по математической гидродинамике (см. [90], [91]).

Далее в этом пункте излагаются основные результаты работы [91]. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что  есть ограниченная область (открытое связное множество) с липшицевой границей. Символами З, ∂E обозначается замыкание и граница множества E соответственно.

Рассмотрим уравнения Эйлера в Ω:

                                       (49)

Здесь,  для всех q∈[1,2). Хорошо известно, что если выполнено хотя бы одно из следующих двух условий

(i) область Ω односвязна;

(ii) для любой компоненты связности границы ∂Ω справедливо равенство  (здесь символом n обозначен вектор внешней нормали),

то существует непрерывная функция ψ:Ω→R,  такая, что.

Обозначим. В силу сделанных предположений  для всех q∈[1,2).

Теорема 1 (Закон Бернулли). Пусть функции v, p суть решения уравнений Эйлера (Ошибка! Источник ссылки не найден.), причем выполнено хотя бы одно из условий (i) или (ii). Тогда для любого связного множества K⊂Ω такого, что, справедливо утверждение

                                       (50)

при этом последнее равенство справедливо - почти всюду (п. в.).

Здесь и далее связность понимается в смысле понятий общей топологии, символом  обозначается сужение функции ψ на множество K, а символ  означает 1-меру Хаусдорфа: ,

где.

Замечание 1. В связи с формулировкой Теоремы 1 отметим, что по классическим теоремам о следах для каждой функции значения f(x) «хорошо определены» для - п. в. точек x∈∂Ω. Поэтому на всем протяжении настоящей статьи мы считаем, что функция Φ и др. определены на замыкании Ω.  Функцию ψ обычно называют функцией тока, ее линии уровня называются линиями тока, а функция Φ называется напором. Тогда закон Бернулли можно переформулировать следующим образом: напор постоянен вдоль каждой линии тока.

Прямым вычислением устанавливается, что

       

Из этого тождества мгновенно вытекает классическая формулировка закона Бернулли в гладком случае. Частные случаи Теоремы 1 известны и в негладком случае (см., например, Теорему 2.2 из [92]), однако они требовали всякий раз отдельного, подчас довольно трудоемкого, доказательства.

Доказательство Теоремы 1 в статье [91] основано на использовании следующих, недавно полученных, результатов.

Теорема A ([93]) Пусть. Тогда для почти всех y∈R прообраз  состоит из конечного семейства непересекающихся - гладких кривых, j=1,…,N(y). Каждая кривая  либо гомеоморфна окружности, либо представляет собой простую (без самопересечений) дугу с концами на ∂Ω (в последнем случае дуга трансверсальна ∂Ω). Более того, касательный вектор к каждой кривой является абсолютно непрерывной функцией.

Теорема B ([93]) Пусть. Тогда для каждого ε>0 существует открытое множество V⊂R и функция  такие, что, и при f(x)∉V функция f дифференцируема в точке x с производной ∇f(x), причем справедливы соотношения f(x)=g(x), ∇f(x)=∇g(x)≠0.

Теорема C ([93]) Пусть. Тогда для каждого ε>0 существует δ>0 такое, что для любого множества U⊂Ω если, то

Во всех сформулированных теоремах и в последующем при работе с соболевскими функциями мы предполагаем, что выбираются их наилучшие представители.

Эти теоремы раскрывают неожиданный парадокс. Хотя функция  может не иметь никакой классической гладкости (в частности, она может не быть даже  - гладкой, тем не менее, ее почти все ее линии уровня имеют классическую  - гладкость. В этом смысле, функция  ведет себя лучше, чем - гладкие функции из примера Уитни.

Методы наших исследований основаны на разложениях типа Кэмпбелла − Хаусдорфа для базисных векторных полей различной степени гладкости, теории неголономного вариационного исчисления, а также геометрической теории отображений в субримановой геометрии.

Используемые нами методы являются развитием методов и подходов, разработанных в 2007 – 2011 гг и [96]-[102] для исследования субримановых структур. Основная идея этих подходов – непосредственное рассмотрение метрических объектов, “прямое” изучение их свойств без применения как методов, имеющих “сложную” структуру, так и требующих от объекта изучения таких свойств, как достаточно большая гладкость, невырожденность и т. д. (примером таких методов является применение известной формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа), а также труднопроверяемых свойств.

Такой принцип выбора методов исследования делает понимание получаемых результатов более доступным, в частности, для аспирантов и студентов, так как не требует изначального знания большого количества дополнительного материала, выходящего за рамки программы обучения в вузах. Кроме того, так как методы используют минимальное количество свойств изучаемых структур, то они позволяют получать существенно более тонкие результаты сравнительно с классическими для общеизвестных ситуаций.

Рассмотрены субэллиптические уравнения вида

, где есть точка области трехмерного пространства, , .

Нетрудно видеть, что векторные поля, соответствующие дифференциальным операторам первого порядка и , удовлетворяют условия Хермандера. Более того, известно, что они порождают алгебру Ли группы Гейзенберга .

Эти векторные поля являются левоинвариантными относительно групповой операции . Пусть , . Нетрудно видеть, что поля правоинвариантны относительно групповой операции , кроме того, они перестановочны с полями .

Известно, что пространство Бесова определяется в терминах разностей. В данном случае разности берутся только вдоль интегральных линий векторных полей , при этом в соответствующую норму Бесова входят нормы подходящих разностных отношений.

Пространство состоит из функций, чьи первые производные вдоль векторных полей и принадлежат . Такая норма  характеризует поведение функции вблизи границы. Мы предполагаем, что область ограничена и имеет гладкую границу.