Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 13 )

Для всякого y∈J2(R, R) функция [f]y:x∈Щ→d(f(x),y) принадлежит классу Wq1(Щ); Семейство функций {∇L[f]y} имеет мажоранту, принадлежащую Lq, loc(Щ), т. е. существует функция g∈Lq, loc(Щ), не зависящая от y, такая, что |∇L[f]y(x)|≤g(x) для почти всех x∈Щ.

Если f – отображение класса Соболева, то базисные вектора X1(x), X2(x) горизонтального подпространства Hx переходят в векторы (X1f)(x), (X2f)(x)∈Hf(x) для почти всех x. То есть почти всюду выполняются так называемые слабые условия контактности:

X1f2= X1f3= X1f4=0,  X2f3= f1 X2f2,  X2f4= f12 X2f2/2.

Таким образом, определено отображение Dhf(x) = {Xifj(x)}i, j=1,2: Hx → Hf(x) горизонтальных подрасслоений, называемое аппроксимативным горизонтальным дифференциалом. В свою очередь, Dhf почти всюду определяет сохраняющий градуировку гомоморфизм алгебр Ли Df [Vod]. Определитель матрицы Df(x) называется (формальным) якобианом отображения f и обозначается символом J(x, f).

Пусть U — открытое множество на группе джетов J2(R, R), а f:U→ J2(R, R) — непостоянное отображение класса Соболева W1q, loc(U, J2(R, R)). Отображение f принадлежит классу QI(L, U), L≥1 (является L-квазиизометрией), если J(x, f) не меняет знак на U и L−1|о|≤|Dhf(x)о|≤L|о| для всех векторов о∈Hx в почти всех точках x∈U. Если f ∈ QI(1,U), то отображение f будет изометрией на U. 1-квазиконформные отображения группы джетов описаны в работе [69]. Отсюда легко получить описание изометрий.

Лемма (описание изометрий). Всякое изометрическое отображение группы джетов J2(R, R) является композицией следующих трех отображений:

σ1(x1, x2, x3, x4)=(-x1, x2, - x3, x4) – отражение,

σ2(x1, x2, x3, x4)=(-x1, - x2, x3, - x4) – переворот,

рa(x)=a·x, a∈J2(R, R), — левый сдвиг.

Также как и в евклидовом случае Dhц — постоянное отображение для всякой изометрии ц.

Мы доказываем жесткость изометрий на области Джона. Область Щ⊂ J2(R, R) называется областью Джона J(б, в), 0<б≤в, если существует выделенная точка y∈Щ такая, что каждая точка x∈Щ может быть соединена с y спрямляемой кривой г:[0,l]→Щ, параметризованной длиной дуги так, что г(0)=x, г(l)=y, l≤в, и dist(г(s),∂Щ)≥бs/l для всех s∈[0,l]. Очевидно, что B(y, б)⊂Щ⊂B(y, в).

Основной результат сформулирован в следующей теореме.

Теорема  (количественная жесткость изометрий). Пусть U — область Джона на группе джетов J2(R, R) с внутренним радиусом б и внешним радиусом в. Тогда для любого f ∈ QI(1+е, U), существует изометрия и, для которой

sup{d(f(x),и(x)) : x∈U} ≤ N1(в2/б)(е1/3+е)

и

  .

Постоянные N1 и N2 не зависят от области U и отображения f.

Растяжение д1+е показывает асимптотическую точность порядка близости в теореме.

Метод доказательства теоремы так же, как и в [66], основан на линеаризации тензора напряжения на группе джетов в виде дифференциального оператора первого порядка с постоянными коэффициентами, ядро которого «почти» совпадает с алгеброй Ли группы изометрий.

Пусть U — область на группе джетов J2(R, R). Однородный дифференциальный оператор Q действует на отображение u: U → R2 следующим образом:

,

где Dhu={Xiuj}i, j=1,2.

Лемма. Ядро оператора Q в классе Соболева W1p, loc(U, J2(R, R)), p>1, конечномерно: u∈kerQ тогда и только тогда, когда u=c, где c∈R2.

Далее мы используем коэрцитивные оценки для оператора Q из работы [70] и получаем оценку на близость дифференциалов в интегральной норме. Поскольку дифференциал изометрии является постоянной матрицей, мы получаем, что дифференциал квазиизометрии принадлежит классу BMO, для которого известна экспоненциальная интегрируемость. Жесткость в равномерной норме с порядком близости е1/3 получается из следующей леммы.

Лемма. Пусть ||Dhf-I||p, B(0,1)<е|B(0,1)|1/p, где B(0,1) – шар с центром в 0 радиуса 1. Тогда d(f(x),x)<C(е1/3+е) для всех x∈B(0,1/2).

1.6        Исследование регулярности решений дифференциальных уравнений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии векторных полей

Известно, что теория эллиптических уравнений является одной из основных областей теории уравнений в частных производных и имеет многочисленные важные приложения.  В частности, применительно к механике сплошных сред, такие уравнения описывают стационарные модели теории упругости, гидродинамики, теплопроводности и др.

Линейное эллиптическое уравнение второго порядка характеризуется тем, что квадратичная форма при частных производных второго порядка в таком уравнении строго положительно определена. Последнее означает, что в рассматриваемом уравнении сумма слагаемых, содержащих частные производные второго порядка искомой функции, может быть записана как , где - число независимых переменных, для любого матрица симметрическая и соответствующая квадратичная форма положительно определена, т. е. удовлетворяет неравенству для любого не равного нулю вектора . Последнее неравенство эквивалентно тому, что собственные значения матрицы больше нуля.

Можно также рассмотреть случай, когда соответствующая квадратичная форма неотрицательно определена, т. е.  для любого .  Тогда рассматриваемое уравнение будет иметь параболический тип, если имеет единственное нулевое собственное значение, причем собственные вектора , , отвечающие положительным собственным значениям интегрируемое касательное подрасслоение. Последнее означает, что существуют многообразия размерности такие, что касательное пространство к этому многообразию в точке совпадает с линейной оболочкой векторов . Это определение можно обобщить на случай, когда матрица  имеет линейно независимых собственных векторов, отвечающих нулевому собственному значению, предполагая, что не зависит от и, что -мерное подрасслоение, соответствующее собственным векторам, отвечающим положительным собственным значениям, интегрируемо. Такие уравнения также можно называть параболическими.

Уравнение имеет субэллиптический тип, если, напротив, собственные вектора , отвечающие положительным собственным значениям, порождают вполне неинтегрируемое касательное подрасслоение (обычно предполагается, что размерность не зависит от точки ). Иначе говоря, если минимальным многообразием, касательное пространство к которому содержит это подрасслоение является все пространство . 

Параболические и субэллиптические уравнения возникают при описании моделей статистической физики, а также применительно к некоторым другим вопросам. В частности к другим статистическим задачам, а также при описании упругих деформаций некоторых композиционных материалов. При этом, несмотря на то, что они возникают в связи со схожими приложениями, свойства решений параболических и субэллиптических уравнений значительно различаются. Свойства решений субэллиптических уравнений более сходны со свойствами решений эллиптических уравнений.

Теории эллиптических и субэллиптических уравнений имеют много общего. А именно, в постановках корректных краевых задач, доказательстве априорных оценок, исследовании регулярности решений уравнений, методах построения решений краевых задач, а также методах численного приближения решений различных задач для таких уравнений.

Основные различия состоят в том, в каких функциональных классах отыскиваются решения, соответственно, в терминах каких норм доказываются априорные оценки и какие дискретные пространства используются в численных методах для построения решений таких уравнений.

Если для эллиптических уравнений, как правило, используются классические функциональные пространства Гельдера, Соболева, Никольского, Бесова [71] и др., то для субэллиптических уравнений используются их аналоги, содержащие информацию об уравнении.