Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 12 )

Определение 3. Кривая M называется горизонтальной, если M для почти всех . Расстояние Карно – Каратеодори между точками x и y определяется как точная нижняя грань длин горизонтальных кривых, соединяющих x и y. Расстояние Карно – Каратеодори в локальной группе Карно в точке u определяется аналогично.

Локальная аппроксимационная теорема (случай -гладких векторных полей). В компактной окрестности M имеем равномерную оценку . Здесь точки v и w принадлежат шару .

Теорема Митчелла (случай -гладких векторных полей). Касательный конус в точке u к многообразию Карно M – локальная группа Карно, определяемая векторными полями .

1.5.3 Приведем сначала классическое определение субримановых пространств, которые естественным образом возникают в моделях неголономной и квантовой механики, нейробиологии, в теории оптимального управления, субэллиптических уравнений и т. д.

Определение 1. Субримановым пространством  M называется связное гладкое риманово многообразие с заданными на нем  горизонтальными гладкими векторными полями X1,… ,Xm, которые всеми своими коммутаторами вплоть до некоторого конечного порядка M порождают все касательное пространство M в каждой точке (условие Хёрмандера). Число M называется глубиной субриманова пространства.

Определение 2. Точка u многообразия M регулярной, если существует некоторая ее окрестность, в которой размерности всех Hk (подрасслоения, натянутые на коммутаторы порядка k-1 горизонтальных полей) постоянны, иначе точка называется нерегулярной. Случай нерегулярных точек существенно отличается от случая точек

регулярных.

Бурное развитие субримановой геометрии и ее приложений привело к необходимости выработки более общих постановок задач  и новых методов для их решения. Основными направлениями обобщения при этом являются снижение гладкости порождающих пространство векторных полей и ослабление условия Хёрмандера о порождении всего касательного пространства коммутаторами горизонтальных векторных полей (например, такая ситуация возникает в нелинейной теории оптимального управления [58]). Мы работаем со следующим определением.

Определение 3.  Пусть на связном гладком многообразии M задано произвольное число векторных полей X1,X2,…,Xq гладкости порядка 2M+1 на области U многообразия M, которым присвоены некоторые формальные степени  deg(Xi)=di, 1<d_1<d_2<…<d_q< M. При этом коммутатору X_I=[Xi1,[…,[Xi(k-1),Xik] присваивается степень, равная однородному порядку: degX_I=|I|_h=di1+…+dik. Предполагается, что span{X_I(v):|I|_h≤M}=Tv M. Многообразие M с введенной структурой будем называть пространством Карно--- Каратеодори.

В  случае, когда естественное  отображение, индуцированное скобкой Ли, является эпиморфизмом, M называется многообразием Карно. Одна из важных особенностей при таком определении состоит в том, что, варьируя значения степеней di, можно менять соотношение регулярных и нерегулярных точек на пространстве. Для избежания громоздкости обозначений, сформулируем все результаты для основного модельного случая, когда d1=1, dq=M.

Основная трудность при работе с пространствами Карно -- Каратеодори состоит в том, что внутренней субримановой метрики dc, определяемой в классическом случае как точная нижняя грань всех горизонтальных кривых, соединяющих данные точки, при этом может не существовать. Мы работаем со следующей квазиметрикой (т. е., неравенство треугольника выполнено лишь в обобщенном смысле, с некоторой константой), введенной в [59] для

удобства вычислений.

Аналогично классическому случаю [60]-[62] строятся аппроксимации X_I^u векторных полей X_I в точке u из M, которые образуют нильпотентную градуированную алгебру Ли и таковы, что X_I=X_I^u+R_I, где R_I имеют больший порядок малости (с учетом весовой структуры). Определим квазиметрику с^u по аналогии с с при помощи полей  X_I^u.

Основные результаты данной работы составляют следующие две теоремы.

       Теорема (локальная аппроксимационная теорема для квазиметрик). Для произвольной точки u ∈ U и точек v, w∈ U таких, что с(u, v)=O(ε),с(u, w)=O(ε),  справедлива оценка

Теорема (о касательном конусе для квазиметрик) Квазиметрическое пространство (U, с^u) является касательным конусом к квазиметрическому пространству (U, с). Касательный конус имеет алгебраическую структуру однородного пространства.

Определение касательного конуса к квазиметрическому пространству введено на предыдущих этапах проекта и представляет собой естественное (но не прямолинейное) обобщение теории Громова для метрических пространств.

В случае многообразий Карно нами доказан аналог классической теоремы Рашевского—Чоу, и также доказаны локальная аппроксимационная теорема и теорема о касательном конусе.

Доказательства по существу основываются на результатах для случая регулярных точек [64],[65], а также на синтезе и обобщении методов работ [59-64]. Кроме того, получен ряд новых свойств изучаемых квазиметрик.

1.5.4. В теории упругости исследуется следующий вопрос: что мы можем сказать о глобальной деформации твердого тела при условии, что локальные деформации малы? Известно, что если тензор деформации нулевой почти всюду в U, то f — движение при условии достаточной регулярности. Если же деформации малы в каком-нибудь смысле на U, то каково глобальное отличие f от движения на всей области? Если глобальное отличие также мало, то это свойство называют геометрической жесткостью или устойчивостью изометрий.

Если f — гомеоморфизм, для которого тензор деформации мал, то f будет локально билипшицевым (см., например, [66]). Это приводит к естественной интерпретации деформации как билипшицевых отображении. В 1961 году Ф. Джон [67] исследовал этот вопрос в более общей постановке: а именно, он рассмотрел отображение f :U → Rn, где U — открытое множество в Rn, n>1, и показал, что для локально (1 + е)-билипшицевого отображения f, где е < 1, существует движение ц такое, что

∥Df − Dц∥p, U≤C1pе|U|1/p и sup{|f(x)−ц(x)|: x∈U}≤C2 diam(U)е.

Ф. Джон доказал второе соотношение для области U специальной природы, называемой сейчас областью Джона, а первое — на кубах. Позже [66] другим методом установил оба эти соотношения на областях Джона без ограничения на е.

Квазиконформный анализ в субримановой геометрии стал предметом интенсивного исследования после того, как были установлены связь квазиконформных отображений и функциональных классов на однородных группах, а также жесткость типа Мостова гиперболических пространственных форм.

Проблема устойчивости изометрий в субримановом случае исследовалась только на группах Гейзенберга Hn в работе и [68]. Они установили количественную теорему устойчивости изометрий на группах Гейзенберга: всякая (1+е)-квазиизометрия области Джона группы Гейзенберга Hn, n > 1, близка к некоторой изометрии с порядком близости е1/2+е в равномерной норме и с порядком близости е в норме Соболева Lp1. Также были приведены примеры, демонстрирующие асимптотическую точность полученных результатов.

Цель нашего исследования – доказать количественную жесткость изометрий на группе Карно глубины 3. Самой простой трехступенчатой группой Карно является группа джетов J2(R, R) (или группа Энгеля), которую мы и изучили.

Элементы группы джетов J2(R, R) можно рассматривать в виде точек из R4 = {x=(x1, x2, x3, x4)} со следующей групповой операцией

(x1, x2, x3, x4)·(y1, y2, y3, y4) =(x1+y1,x2+y2, x3+y3+x1y2, x4+y4+ x1y3+x12y2/2).

Очевидно, 0=(0,0,0,0) – единица группы и

x-1=(-x1,-x2,-x3+x1x2,-x4+x1x3-x12x2/2).

Левоинвариантные векторные поля X1=∂1, X2=∂2+x1∂3+x12∂4/2, X3=∂3+x1∂4, X4=∂4 порождают алгебру Ли. При этом выполняются следующие коммутационные соотношения:

[X1,X2] = X3, [X1,X3] = X4, [X2,X3]=[X1,X4]=[X2,X4]=[X3,X4]= 0.

Векторные поля X1, X2 образуют горизонтальное подрасслоение H касательного расслоения. H и все коммутаторы полей из H образуют все касательное расслоение. Метрика Карно – Каратеодори d задается как инфимум длин всех горизонтальных кривых соединяющих две точки (напомним, что кусочно-гладкая кривая называется горизонтальной, если ее касательный вектор лежит в горизонтальном подрасслоении H почти всюду). Размерность по Хаусдорфу относительно метрики Карно – Каратеодори равна 7.

Растяжение дs, s > 0, действует на группе J2(R, R) по правилу дs(x1, x2, x3, x4)= (sx1, sx2, s2x3, s3x4) и является гомоморфизмом группы. Мера Лебега на R4 является биинвариантной мерой Хаара.

Пусть Щ — область в J2(R, R). Пространство Соболева Wq1(Щ), 1≤q≤∞, состоит из функций f : Щ → R, имеющих обобщенные производные X1f и X2f, и конечную норму ∥f|Wq1(Щ)||=∥f∥q, Щ+∥∇Lf∥q, Щ, где ∇Lf=(X1f, X2f) — субградиент функции f.

Отображение f:Щ→J2(R, R) принадлежит классу Соболева Wq1(Щ, J2(R, R)), если выполнены следующие условия: