Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 2 )

6.2.  Проведено предварительное исследование некоторых модельных пространств Карно – Каратеодори для последующего описания на этих пространствах групп конформных и изометрических преобразований.

6.3.  Исследуются свойства решений одного класса квазилинейных уравнений субэллиптического типа. Изучена литература по данному вопросу и выявлены приоритетные направления развития.

Аннотированная справка по этапу №2

1. Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости. В ходе выполнения проекта было впервые построено каноническое термодинамически согласованное представление уравнений нелинейной теории упругости в эйлеровых переменных для общей поливыпуклой внутренней энергии; было доказано, что систему уравнений нелинейной теории упругости можно регуляризовать таким образом, чтобы ее решение было не просто соболевским гомеоморфизмом, но и квазиизометрическим отображением, причем постоянные квазиизометрии можно подобрать так, чтобы приблизить внутреннюю энергию упругого материала с произвольной точностью; была доказана теорема существования для регуляризованной задачи; для вариационного метода построения мерозначных энтропийных решений уравнений нелинейной теории упругости был предложен и исследован дискретный вариационный принцип, практически для всех известных поливыпуклых упругих потенциалов и для их квазиизометрических регуляризаций была доказана сходимость градиентного метода к стационарной точке функционала.

2. Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях. Основным примером неголономных многообразий, играющих важную роль в механике сплошных сред, являются многообразия Карно. На данном этапе, целью являлось исследование геометрических и аналитических свойств множеств уровня контактных отображений многообразий Карно, в частности, изучение их характеристических точек.  Доказано, что для контактных отображений многообразий Карно субриманова мера Хаусдорфа характеристических точек на почти каждом множестве уровня равна нулю. В качестве приложения выведена формула коплощади.

3. Энтропийные решения в теории упругости. Исследование направлено на решение актуальных проблем анализа и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Доказана в плоском случае изэнтропичность непрерывных обобщенных решений некоторых систем квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Полученные результаты связаны с теорией отображений с ограниченным (конечным) искажением и с теорией квазивыпуклых множеств и функций.

4. Теория дифференциальных форм в категории римановых и субримановых многообразий.

4.1.  Для гомеоморфизмов некоторых классов Соболева с первыми обобщенными производными найдено оптимальное условие на искажающую функцию, содержащее в себе и условия регулярности для обратного отображения (т. е. принадлежность обратного классу Соболева и некоторые условия на его функцию искажения).

4.2. Получены необходимые и достаточные условия для ограниченности (и изоморфности) оператора суперпозиции соболевских пространств с первыми обобщенными производными, индуцируемого измеримым отображением римановых многообразий. Если индуцированный отображением оператор суперпозиции – изоморфизм пространств Соболева,  то отображение отличается от квазиизометрического  гомеоморфизма лишь на множестве нулевой меры.

5. Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли.

5.1.  Для класса достаточно гладких векторных полей найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы анизотропные метрические функции были действительно квазиметриками в области определения векторных полей. Исследована асимптотика этих метрических функций. На примере системы векторных полей  X1=(1,0,0,xy), X2= (0,1,0,xy), X3=(0,0,1,0), X4=(0,0,0,1)  изучена взаимосвязь между тем фактом, что анизотропная метрическая функция, индуцированная этими векторными полями, удовлетворяет  обобщенному неравенству треугольника в выделенной точке g, и корректностью определения нильпотентного касательного конуса по значениям функций  в точке g из таблицы коммутаторов этих векторных полей.

5.2.  Разработан аксиоматический подход к теории локальных касательных конусов регулярных пространств Карно—Каратеодори, основанный на рассмотрении абстрактных (квази)метрических пространств с растяжениями, а также концепция дифференцируемости отображений между такими пространствами. Доказано, что касательный конус к (квази)метрическому пространству представляет собой нильпотентную градуированную группу.

5.3. Исследована алгебраическая структура касательного конуса в нерегулярной точке к многообразию Карно в условиях, когда порождающие пространство векторные поля имеют размерность 2M, где M—глубина многообразия Карно.

6. Исследование регулярности решений дифференциальных уравнений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии векторных полей.

6.1  Получены новые априорные оценки решений субэллиптических уравнений. Доказаны теоремы вложения и интерполяционные оценки для пространств Бесова, определяемых в терминах разностей вдоль траекторий левоинвариантных и правоинвариантных векторных полей на группе Гейзенберга. Построен новый метод нахождения решений задачи Неймана для субэллиптических уравнений в подходящих функциональных пространствах. Даны два новых определения классов Соболева для функций, заданных в области евклидова пространства, со значениями в группе невырожденных матриц. Доказана их эквивалентность.

6.2  На общих группах Карно установлены интегральные представления типа Соболева. На областях Джона групп Карно доказаны коэрцитивные оценки для однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами и с конечномерным ядром, неравенства Пуанкаре и теоремы вложения Соболева функциональных пространств. В теоремах вложения приведены явные оценки на нормы операторов вложения в зависимости от области Джона. Операторы вложения исследованы на вполне непрерывность.

Аналитический отчет о проведении теоретических и экспериментальных исследований

1.1        Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости

В дальнейшем при записи уравнений используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, а использование переменной в качестве нижнего индекса означает дифференцирование по этой переменной.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка

(1)

где ,

Говорят, что у системы уравнений (1) существует энтропийная пара (см, например, (Кружков, 1970), если можно найти выпуклую функцию и функции , такие, что

Энтропийным решением системы уравнений (1) называют функцию , для которой выполнено дифференциальное неравенство

(2)

Решение системы (1), для которого (2) является равенством, называется изэнтропийным решением.

В работах был предложен способ выбора вектора переменных и специальных потенциалов , , с использованием которых многие системы уравнений математической физики можно привести к следующему каноническому виду.

(3)

где функция является строго выпуклой, а обозначает частную производную по . При этом энтропийные решения системы уравнений (3) удовлетворяют неравенству

(4)

которое становится равенством на гладких решениях.

Недивергентная запись системы уравнений (3) выглядит следующим образом

(5)

Система уравнений является (5) симметрической и гиперболической по Фридрихсу, поскольку матрица является симметрической и положительно определенной, а матрицы являются симметрическими.

Рассмотрим потенциалы специального вида, допускающие следующее представление

(6)

где для функции составляют бездивергентное векторное поле , для которого справедлив закон сохранения