Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 15 )

Наряду с векторными полями , мы рассматриваем поля , , перестановочные с полями , и удовлетворяющие аналогичным коммутационным соотношениям.

Векторные поля  и  левоинвариантны относительно операции на группе Гейзенберга, в то время как поля и  правоинвариантны относительно этой групповой операции.

Будем называть систему векторных полей , сопряженной системе полей , . Отметим, что если рассмотреть векторные поля , , (соответствующее им уравнение будет эллиптическим, а не субэллиптическим), то сопряженная система будет состоять из тех же векторных полей , , .

Рассмотрим разности вдоль направлений производных первого порядка вдоль векторных полей от некоторой функции. С помощью этих разностей определим стандартным образом пространства Бесова. В терминах норм таких пространств Бесова мы получаем априорные оценки норм решений субэллиптических уравнений.

То, что мы учитываем дифференциальные характеристики рассматриваемых функций как вдоль направлений векторных полей  , так и вдоль направлений полей , дает ряд преимуществ при выводе априорных оценок.

Во-первых, правоинвариантность векторных полей  позволяет получать оценки норм сингулярных интегральных операторов в смысле пространств Бесова, определяемых через разности вдоль этих векторных полей.

Во-вторых, в силу перестановочности векторных полей и  , для всякой -гармонической функции (т. е. для всякого решения уравнения ) разности функции вдоль полей также будут -гармоническими функциями.

Мы получили оценку нормы решения субэллиптического уравнения через нормы коэффициентов и норму правой части уравнения, а также через норму характеризующую поведение рассматриваемого решения вблизи границы.

Эта оценка позволяет построить метод нахождения решений задачи Нейман для линейных субэллиптических уравнений с переменными коэффициентами.

В качестве вспомогательного результата мы доказали теоремы вложения и интерполяционные неравенства для рассматриваемых пространств Бесова. Доказательства этих утверждений опираются на использование интегральных представлений через разности вдоль интегральных линий векторных полей , аналогичные представлениям через производные вдоль векторных полей , выведенные в работе участника проекта [79]. Такие представления могут быть выведены также с помощью техники , см. [71], используя переход к специальной системе координат на группе Гейзенберга, см.  [79], аналогичной сферической системе координат.

Кроме того, нами было начато исследование в области теории общих пространств Соболева. Было сформулировано определение пространств Соболева, состоящих из функций, заданных на произвольном метрическом пространстве с борелевской мерой. Это определение является более общим, чем известные ранее определения, в которых, как правило, налагаются условия на связь меры и метрики, например, условие удвоения. Более того, мы доказали компактность вложения таких пространств  в , где зависит от и некоторых геометрических свойств рассматриваемого пространства, а также свойств рассматриваемой на этом пространстве меры. Мы доказали новый критерий компактности семейства функций из , заданных на вполне ограниченной области произвольного сепарабельного метрического пространства.

2  Отчет по обобщению и оценке результатов исследований

2.1 Модели, методы, программы и алгоритмы, позволяющие увеличить объем знаний для более глубокого понимания изучаемого предмета исследования новых явлений, механизмов или закономерностей

В 2010 г. доказано, что если кривая  обладает свойством: det(γ(s)-γ(t))≠0 для всех s≠t, то любое решение u=u(x, y)∈C(Ω), , системы

                                       (46)

                                       (47)

понимаемой в смысле теории обобщенных функций (распределений по Шварцу), является иэнтропическим. Это означает, что для любого k∈R функции max(u, k) и min(u, k) также являются обобщенным решением той же системы (46). Метод доказательства основан на применении результатов из теории функций с конечным искажением (см. работу [81]) и теории квазивыпуклых множеств и функций (см., в частности, работу [82] ).

Из этой теоремы вытекает множество следствий и приложений. Можно вывести, например, что для указанного решения u множество значений γ(u) имеет нулевую меру Лебега. Далее, если кривая  γ удовлетворяет более сильному условию det(γ(s)-γ(t))>c|γ(s)-γ(t)|2 для всех s≠t, то не существует непостоянных решений системы (46)-(47) и т. д. Указанный результат также позволяет сформулировать необходимые и достаточные условия на квазиконформную кривую, чтобы она была множеством значений градиента C1-гладкой функции из R2 в R2.

Указанные выше результаты нашли важное приложение в геометрии. Далее в этом пункте приводятся результаты из статьи  [83].

Как и принято, символом ∇v обозначается матрица дифференциала  отображения Областью мы называем открытое связное множество. Всюду в дальнейшем Int E — внутренность множества E, ∂E — граница множества E, meas E — мера Лебега множества E (в пространстве соответствующей размерности). Некоторые другие обозначения будут вводиться по ходу работы.

Теорема 1.1. Пусть v:Ω→R — - гладкая функция на области. Предположим, что

       Int∇v(Ω)=∅.                                (48)

Тогда meas∇v(Ω)=0.

Теорема 1.1 является прямым следствием следующих двух результатов.

Теорема 1.2. Пусть v:Ω→R — - гладкая функция на области. Предположим, что выполнено равенство (3). Тогда график функции v является нормальной развертывающейся поверхностью.

Напомним, что - гладкое многообразие  называется нормальной развертывающейся поверхностью [84] (см. также [85]), если через каждую точку  проходит прямолинейный отрезок I⊂S (точка  является внутренней точкой отрезка I) такой, что касательная плоскость к поверхности S стационарна вдоль I. Такие поверхности называют иногда торсами (см., например, [86]), а соответствующий отрезок I называется прямолинейной образующей. Известно (см., например, [85, глава 4, §3.2]), что если точка  нормальной развертывающейся поверхности S не имеет окрестности, в которой S представляет собой плоскую область, то проходящая через эту точку прямолинейная образующая единственна, и никакая другая точка этой прямолинейной образующей не имеет такой окрестности, причем эта прямолинейная образующая продолжается до границы поверхности.