Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 3 )

(7)

Обозначим через следующую неполную производную по

(8)

В качестве обобщенной канонической системы возьмем систему

уравнений

(9)

которая дополняется энтропийным неравенством

(10)

переходящим в равенство на гладких решениях.        

Стоит заметить что дополнительный закон сохранения (7) является следствием выполнения равенств (9), т. е. необходимо искать такое обобщенное решение (9), что если условие бездивергентности (7) выполнено в начальный момент времени, то оно будет справедливо и при .

Очевидно, что функции можно выносить из под знака производных в уравнении (9). Так что для системы (9) недивергентное представление выглядит как

(11)

где неполные производные являются симметрическими, поскольку

Как каноническое представление Годунова, так и его обобщение (9) строятся при помощи преобразования Лежандра, так что применительно к системе (1) должны выполняться следующие соотношения

(12)

Таким образом, если удается найти набор потенциалов , для которого выполнены равенства (12), то система уравнений (9) совпадает с исходной системой (1), что оправдывает произвол использования неполной производной в определении обобщенной канонической формы записи (9).

Покажем, что из факта существования канонического представления (9) следует возможность симметризации и для исходной системы уравнений. Недивергентная запись системы (1) выглядит так

(13)

где неполная производная задается как

Таким образом, система уравнений (13) симметризуется, если ее умножить слева на симметрическую положительно определенную матрицу . Пусть - лагранжевы координаты, - эйлеровы координаты материальной точки. Отображение задает деформацию упругого тела. Матрица Якоби отображения обозначается через , где . Обозначим через упругий потенциал, а через - компоненты вектора скорости. Систему уравнений нелинейной акустики можно записать как систему уравнений первого порядка

а в качестве энтропийной функции выбрать полную энергию

где - начальная плотность, которую будем полагать постоянной.

Как известно, полученную систему можно формально симметризовать, но для реальных материалов она не будет гиперболической по Фридрихсу, поскольку функция , как правило, является невыпуклой функцией своих аргументов. Однако, если величину рассматривать как новую неизвестную величину, то можно записать как выпуклую функцию. При этом расширенная система уравнений теории упругости выглядит так

			(14)

где роль энтропии играет полная энергия .

Для описания процессов в металлах при высоких давлениях в работе (Годунов, Пешков, 2008) был предложен упругий потенциал, который можно представить в виде суммы ``газовой'' составляющей и ``упругой'' составляющей. ``Газовая'' составляющая выводится из предположения, что среда удовлетворяет так называемому ``двучленному'' уравнению состояния (Годунов, 1976), что позволяет получить следующее выражение для внутренней энергии в единице объема (Годунов, Пешков, 2008)

(15)

-энтропийная функция, заданная как

- удельная теплоемкость при постоянном объеме, а где обозначает удельный объем, и

Поскольку потенциал не учитывает касательные напряжения в среде, в (Годунов, Пешков, 2008) было предложено добавить к нему ``упругую'' составляющую, которую можно рассматривать как меру касательных напряжений

			(16)

где обозначает -е сингулярное значение матрицы . Для того, чтобы добиться поливыпуклости суммарного упругого потенциала, в работе (Годунов, Пешков, 2008) пришлось сделать предположение об ограниченности искажения формы, т. е. об ограниченности сверху величин для произвольных . В ходе выполнения данного проекта, в 2009-2010 гг. была предложена мера касательных напряжений в среде, которая удовлетворяет условию поливыпуклости, и аппроксимирует (16):

(17)

При этом удалось показать, что в квадратичном приближении функции и совпадают, и остаются близки при достаточно сильных сжатиях и расширениях материала.