Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 8 )

Методы построения таких «патологических» погружений (вложений) были затем развиты М. Громовым [21], который назвал их «выпуклым интегрированием» (см. также [Ошибка! Источник ссылки не найден.]).

В последние десятилетия метод выпуклого интегрирования наиболее активно использовался в анализе для построения нетривиальных липшицевых решений  дифференциальных соотношений вида

       Dv(x)∈K для п. в. x∈Ω,                                (36)

где K — заданное компактное подмножество пространства  вещественных m×n матриц, а Ω есть область в. (Напомним, что в силу теоремы Степанова-Радемахера дифференциал Dv(x) произвольного липшицева отображения  определен для почти всех всех x∈Ω.) Вместе с отысканием точных решений соотношения (36) важную роль играет нахождение так называемых аппроксимационных решений, т. е. последовательностей  липшицевых функций таких, что

       ( 37)

Будем говорить, что дифференциальное соотношение (36) имеет только тривиальные точные решения, если каждая липшицева функция, удовлетворяющая (36), является аффинной. Аналогично будем говорить, что соотношение (36) имеет только тривиальные аппроксимационные решения, если для каждой последовательности липшицевых функций, удовлетворяющих (37), найдется матрица A∈K и подпоследовательность, такие, что  п. в. в Ω. Сформулированные задачи являются интересными даже для конечных множеств K (так называемая проблема k-градиентов), причем их сложность и богатство вариантов быстро возрастает вместе с мощностью K.

Приведем несколько характерных примеров (их подробное обсуждение можно найти, например, в [22]).

1. Простейший случай — когда K состоит из двух элементов, K={A, B}. Тогда если rank(A-B)≥2, то соотношение (36) имеет только тривиальные (аппроксимационные и точные) решения [23Ошибка! Источник ссылки не найден.] (доказательство этого факта опирается на теорему [6] о слабой сходимости якобианов). Если же rank(A-B)=1, то можно построить не аффинное точное решение v соотношения (36).

2. Пусть  и предположим, что  при i≠j. Тогда соотношение (36) имеет только тривиальные (аппроксимационные и точные) решения [24] (доказательство существенно опирается на результаты [6] по теории отображений с ограниченным искажением).

3. Пусть  и предположим, что  при i≠j. Соотношение (Ошибка! Источник ссылки не найден.) снова имеет лишь тривиальные точные решения [25] (авторы [25] также довольно искусно применяют результаты [6]). Однако здесь уже могут быть нетривиальные аппроксимационные решения. В работе [26] установлено

Предложение 1. Рассмотрим диагональные 2×2 матрицы

и положим. Тогда существует удовлетворяющая (37) последовательность липшицевых отображений, таких, что  на Ω.

Используя данную конфигурацию из четырех матриц (которая теперь носит название конфигурация Тартара), С. Мюллер и Вл. Шверак [27], [28Ошибка! Источник ссылки не найден.] построили неожиданный пример эллиптического уравнения со всюду нерегулярным решением. А именно, ими был доказан следующий результат.

Теорема 2. Существует гладкая строго квазивыпуклая2 функция  с  в  такая, что уравнение Dφ(∇w)=0 имеет слабое решение, которое не является - гладким ни в каком открытом подмножестве Ω. 

Этот результат был высоко оценен математическим сообществом: С. Мюллер и Вл. Шверак были председателями секции на Международном математическом конгрессе в Берлине в 1998 г., которая была посвящена развиваемой ими теории.

4. Проблема пяти градиентов. Используя метод выпуклого интегрирования и альтернативный подход, связанный с теоремой Бэра о категориях, Д. Прайс (D. Preiss) и Б. Кирхейм недавно доказали ([29, Глава 4], см. также [30]), что при n, m≥2 существует множество, такое, что  при i≠j, но в то же время соотношение (36) имеет нетривиальные (неаффинные) решения.

5. Пусть K=SO(n) («проблема одного кольца», или «one-well problem»). Тогда соотношение (36) имеет лишь тривиальные (асимптотические и точные) решения — это легко выводится из результатов [5], [Ошибка! Источник ссылки не найден.].

6. Пусть,  («проблема k-колец»). Тогда, если ∀F, G∈K rank(F-G)≠1, то соотношение (36) имеет лишь тривиальные (асимптотические и точные) решения [31]. Вопрос о том, верно ли аналогичное утверждение для при размерности n≥3, является открытым даже в случае k=2.

Более полный обзор результатов о липшицевых решениях соотношения (31) сделан в относительно недавней работе [32]. Из последних достижений в данной тематике, не вошедших в [32], упомянем красивые результаты, полученные венгерским математиком Л. Секельхиди с соавторами [33], [34] для случая размерностей n=m=2. В частности, в работе [33] доказано, что rank-1 выпуклая оболочка множества значений градиента всякого липшицева отображения  является связным множеством (определение rank-1 выпуклой оболочки см., например, в [22]). При доказательстве результатов в работе [33] используются как классические результаты [6], так и новый элегантный метод разделяющих квазиконформных кривых, разработанный Л. Секельхиди.

В настоящей диссертации вопрос о решениях дифференциального соотношения (36) исследуется в классической постановке — для - гладких функций. Опишем, наконец, один из тех феноменов жесткости, которые изучается в данной работе. Известен классический результат, что если - гладкая функция v=v(x, t), определенная в области, удовлетворяет дифференциальному уравнению гамильтонова типа

                                       (38)

где φ:R→R — - гладкая функция, то через каждую точку z∈Ω проходит прямая линия (характеристика), на которой градиент Dv≡const (см., например, [35, §55]). Поскольку в уравнении (38) участвуют только первые производные функции v, естественно возникает вопрос, сохранится ли указанное свойство, если предполагать только лишь - гладкость отображения v и, соответственно, лишь непрерывность функции φ?  Стремление к наиболее естественной постановке вопроса приводит нас к следующей более общей проблеме.

Проблема 1.  Пусть - гладкая функция v:Ω→R области  обладает свойством

       IntDv(Ω)=∅,                                (39)

где символом Int обозначена внутренность множества. Будет ли тогда выполнено следующее утверждение: существует не более чем счетное множество E такое, что для каждой точки z∈Ω, удовлетворяющей условию

       Dv(z)∉E,                                (40)

найдется прямая линия L, z∈L, такая, что Dv≡const на компоненте связности множества L∩Ω, содержащей точку z? 

(Отметим, что не более чем счетное исключительное множество E появляется уже в - гладком случае, поэтому такая формулировка естественна.) На примере процитированных выше результатов мы видим, как драматически может меняться ситуация с решениями дифференциальных соотношений при уменьшении гладкости. Поэтому интуитивно складывается ощущение, что ответ в Проблеме, вообще говоря, должен быть отрицательный. Это ощущение владело и западными специалистами. Приведем один характерный пример. В недавней работе [36] Я. Колар и Я. Кристенсен пытались доказать (усиливая результаты своих предшественников), что непостоянная - гладкая функция  с компактным носителем обладает свойством, где символом Cl обозначено замыкание множества. Это свойство, очевидно, является тривиальным следствием положительного ответа на вопрос в Проблеме. Но авторы [36] даже и не пытаются ставить такую проблему, а свой результат они доказывают только при дополнительных предположениях на модуль непрерывности градиента Dv (типа гельдеровости). Видимо, тут сказалось то обстоятельство, что Я. Кристенсен, работая в Оксфорде в тесном контакте с упомянутыми Дж. Боллом и Б. Кирхеймом, хорошо знал те осложнения, которые может приносить уменьшение гладкости на единицу. Упомянутое ощущение до некоторой степени довлело и над его чешским соавтором Я. Коларом, и над некоторыми другими чешскими математиками (например, на конференции 35th Winter School in Abstract Analysis 2007 в Лоте над Рохановым, Чехия, М. Зеленый (M. Zeleny) в личной беседе с автором настоящей диссертации поведал о бывшем у него убеждении, что для общего случая - гладких функций результат Колара – Кристенсена неверен, и он некоторое время пытался даже построить соответствующий контрпример).

На примере приведенного результата Я. Колара и Я. Кристенсена видно, что решение Проблемы 1 помогает получить информацию о множестве значений градиента функции v. Возникает

Проблема 2.  Каким условиям должно удовлетворять множество, чтобы дифференциальное соотношение

       Dv(x)∈K для всех x∈Ω                                (41)

имело нетривиальные - гладкие решения? 

установлено (см. [37]), что ответ в Проблеме 1 оказался все-таки положительным. С помощью этого результата в ходе данного проекта удалось существенно продвинуться в решении трудной Проблемы 2. При этом большую роль играют методы теории изэнтропических решений квазилинейных уравнений с частными производными.

В теории квазилинейных уравнений законов сохранения фундаментальную роль играет понятие энтропийного решения. Это понятие появилось после пионерской работы Хопфа в работах [38], [39]. На базе этого фундаментального понятия удалось построить общую теорию глобальной разрешимости для некоторых важных классов дифференциальных уравнений. Теория энтропийных решений вошла уже в разряд мировой классики. Отталкиваясь от понятия энтропийного решения, ученик профессор ввел в своей кандидатской диссертации (1991) новое понятие изэнтропического решения. Говоря упрощенно, определение изентропического решения получается из определения энтропийного решения, если в последнем знак неравенства заменить знаком равенства. Первыми статьями, в которых обсуждалась теория изентропических решений, были совместные работы и [40], [41].