Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 6 )

(29)

Здесь параметр обозначает номер локальной итерации. В случае, когда является линейной функцией, а релаксационный параметр задается равенством , формула (29) задает нормальный проектор на плоскость . В общем случае итерации (29) нужно повторять до тех пор, пока уклонение точки от не будет превышать порога . На практике это сводится к проверке справедливости неравенства

(30)

где величину можно рассматривать как погрешность задания геометрии.

Градиент функции составлен из -мерных векторов . Матрица Гессе функции составляется из матриц , причем матрица помещается на место пересечения -й блочной строки и -го блочного столбца.

Метода Ньютона - Рафсона для нахождения стационарной точки сеточного функционала без учета проскальзывания можно записать следующим образом:

	(31)
	(32)

Обозначим через матрицу размера , первыми двумя столбцами которой являются векторы , вычисленные в точке , а последний столбец равен нулю. Если же индекс , то положим .

Для того, чтобы включить условие проскальзывания в итерационную схему (31), (32), умножим равенство (31) слева на и учтем тот факт, что при удовлетворяет равенству (28), т. е.

так что в линейной системе (31) в качестве неизвестного вектора вместо можно брать двумерный вектор . Обозначим через вектор приращений, равный при и равный при , так что . Используя введенные обозначения, можно записать итерационный метод нахождения стационарной точки функции .

	(33)
	(34)

Равенство (34) можно записать как

где оператор проекции на границу области совпадает с введенным в формуле (29). Итерационный параметр находится в результате приближенного решения одномерной задачи минимизации

Для решения этой одномерной задачи используется простейший метод деления пополам. Использование известной схемы Армийо для решения этой задачи остается под вопросом, поскольку функция является барьерной, т. е. не является липшицевой.

Для того, чтобы из общих формул (33) получить метод, аналогичный известному итерационному барьерному методу Иваненко-Чарахчьяна, 1988, нужно положить при . При этом для нахождения нужно решать независимые линейные системы размерности в скользящих точках и размерности в остальных точках сетки.

Для того, чтобы из (33) получить неявный метод, предложенный в (Гаранжа, 2000), в матрицах надо отбросить все внедиагональные члены. В этом случае линейная система (33) распадется на независимых линейных системы относительно векторов , которые получаются из при помощи равенств

Вариационный метод можно использовать и в том случае, когда алгебраический объем некоторых тетраэдров в начальной сетке равен нулю или отрицателен. При наличии подобных ``вывернутых'' тетраэдров оказался эффективным метод распутывания сеток, предложенный в работе (Гаранжа, Капорин, 1999) . Идея этого метода основана на том, что детерминант в знаменателе формулы (23) заменяется на величину

При этом исправление сетки достигается за счет продолжения по параметру от больших значений до нуля.

Построение начальной допустимой деформации играет большую роль в сложных прикладных задачах, для которых невозможно построить допустимое начальное приближение аналитически или вручную.

Численные эксперименты показали, что в тех случаях, когда задача построения начальной деформации является достаточно жесткой ввиду сложной геометрии области, а число элементов в сетке достаточно велико, явные методы градиентного спуска оказываются неспособны эту задачу решить. С другой стороны, неявные методы достаточно эффективны и позволяют строить допустимую упругую деформацию, стартуя с произвольного начально приближения. Их основным недостатком является является использование большого объема оперативной памяти, что препятствует их применению в случае весьма подробных трехмерных сеток.

Рис. 1