Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 1 )

Федеральное агентство по науке и инновациям

УДК 517.518+514.765+514.86+51-72+539.3

Госрегистрация: №

Инв. №:

Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред»

Наименование этапа: Этап №3

Шифр:  НК-408П/67

Институт математики им. СО РАН

Новосибирск – 2011

Содержание

Введение  3

Аннотированная справка по этапу №1  4

Аннотированная справка по этапу №2  9

1  Аналитический отчет о проведении теоретических и (или) экспериментальных исследований  13 

1.1 Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости  13

1.2 Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях  32

1.3 Энтропийные решения в теории упругости  34

1.4 Теория дифференциальных форм в категории римановых и субри-

мановых многообразий  45

1.5 Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли  49 

1.6        Исследование регулярности решений дифференциальных урав-

нений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии вектор-

ных полей  65

2  Отчет по обобщению и оценке результатов исследований  74

2.1 Модели, методы, программы и (или) алгоритмы, позволяющие

увеличить объем знаний для более глубокого понимания изучаемого предмета исследования новых явлений, механизмов или закономер-

ностей  74

2.2 Рекомендации по возможности использования результатов НИР в реальном секторе экономики  82 

3 Публикации результатов НИР  8

4 Заключение  109

5 Список литературы  111

Введение

Ниже мы приводим научный отчет по НИР «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред», выполненной в рамках этапа № 3, государственный контракт от 01.01.01 г., №П2224, шифр НК-408П/67.  НИР выполнялась в рамках программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. Основу коллектива составили ученики и коллеги д. ф.-м. н., профессора .

Целью отчетного, заключительного  периода НИР являлась разработка подходов и методов комплексного применения различных методов математического анализа в задачах механики сплошных сред, а также теории, лежащей в основе этих методов, и на их основе – подготовка высококвалифицированных специалистов, формирование и развитие научно-исследовательского коллектива, специализирующегося в области геометрического анализа и математических методов в физике.

За отчетный период был охвачен широкий круг научных вопросов по смежным вопросам теории упругости, анализа, геометрии и уравнений в частных производных. Получены новые результаты, которые были успешно внедрены согласно условиям государственного контракта, в образовательный процесс. Коллектив успешно выполнил основные задачи, сформулированные в Календарном плане отчетного этапа. В этом плане технического задания по проекту мы заявили следующие взаимосвязанные темы.

1        Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости.

2        Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях.

3        Энтропийные решения в теории упругости.

4        Теория дифференциальных форм в категории римановых и субримановых многообразий.

5        Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли.

6        Исследование регулярности решений дифференциальных уравнений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии векторных полей.

Ниже, согласно вышеперечисленным темам, мы изложим аналитический обзор проблематики и  результаты, полученные за отчетный период, а также кратко перечислим результаты, полученные на предыдущих этапах НИР (в аннотированных справках).

Аннотированная справка по этапу №1

1. Условие поливыпуклости Болла и уравнения нелинейной теории упругости. Решена задача о приведении  уравнений теории упругости с конечными деформациями в лагранжевых переменных  с общим поливыпуклым потенциалом к каноническому термодинамически согласованному представлению . Показано, что широкий класс упругих потенциалов можно приближать с произвольной точностью квазиизометрическими потенциалами, так что решение задач стационарной теории упругости существует и является квазиизометрическим отображением. При этом, в отличие от классических результатов Дж. Бола, не требуется вводить в упругий потенциал зависимость от матрицы кофакторов матрицы Якоби упругой деформации. Проведены предварительные численные эксперименты по вычислению упругих деформаций при несогласованных начальных полях напряжений. Исследована возможность приближения квазиизометрических отображений кусочно-аффинными гомеоморфизмами. В частности, показано, что такое приближение возможно, если двумерное квазиизометрическое отображение принадлежит некоторому подклассу отображений ПРВ (представимых разностью выпуклых функций).

2. Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях. Изучены и доложены на научном семинаре диссертации D. Vittone и F. Bigolin’а (2008 г.), в которых излагается недавно обнаруженная неожиданная связь между уравнением Бюргерса (простейший закон сохранения) и регулярными параметризациями поверхностей на группе Гейзенберга.  Эта связь открывает новые перспективы исследований как для теории законов сохранения, так и для теории поверхностей в неголономных многообразиях. Мы планируем детально изучить применение теории поверхностей в субримановых пространствах  в теории законов сохранения, а именно, обобщая результаты работ  Vittone и Bigolin’а, проанализировать, какие дополнительные свойства законов сохранения, полезные для построения их строгой математической теории, позволяет получить обнаруженная связь. В частности, планируется выяснить область применимости метода параметризации поверхностей в других неголономных пространствах к задачам нелинейной теории упругости и пластичности и других систем уравнений, включающих в себя законы сохранения.

3. Энтропийные решения в теории упругости. Исследование направлено на решение актуальных проблем анализа и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Доказана в многомерном случае изэнтропичность непрерывных обобщенных решений некоторых систем квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными. С помощью этого результата планируется получить ряд других результатов в анализе, в частности, выяснить строение множества значений градиента - гладких функций в многомерном случае.

4. Теория дифференциальных форм в категории римановых и субримановых многообразий.

4.1. Введены новые классы соболевских гомеоморфизмов, обратные к которым также являются соболевскими. Новый класс гомеоморфизмов содержит в качестве подкласса отображения с конечным искажением.

4.2. Получены необходимые и достаточные условия для ограниченности (и изоморфного соответствия) оператора суперпозиции пространств Соболева, заданных на римановых многообразиях одинаковой размерности, индуцируемого измеримым отображением. Данные условия эквивалентны ограниченному изменению длины кривой, заданной на одном многообразии, при перенесении на другое, то есть оценке близости геометрий двух римановых многообразий.

4.3. Получены неравенства типа Соболева и типа Пуанкаре для дифференциальных форм.

5. Геометрический анализ на (некоммутативных) группах Ли.

5.1. Доказана формула площади для липшицевых (относительно субримановых метрик) отображений пространств Карно – Каратеодори (или многообразий Карно). В частности, получено аналитическое выражение для субриманова якобиана (через субриманов дифференциал). Также используется удобная для вычислений квазиметрика, свойства которой значительно упрощают исследования липшицевых (в субримановом смысле) поверхностей.  Заметим, что ранее, с помощью стандартной схемы формула площади была получена независимо V. Magnani и S. D. Pauls’ом для липшицевых отображений групп Карно, то есть, для более частного случая. При этом явное аналитическое выражение для якобиана получено не было. Предложенная схема доказательства является принципиально новой даже для классического случая отображения евклидовых пространств.

5.2. На топологическом пространстве растяжения можно определить как непрерывные однопараметрические семейства стягивающих гомеоморфизмов, заданных в окрестности каждой точки. Мы доказали, что, при определенных дополнительных  условиях, растяжения позволяют ввести в окрестности каждой точки локальную группу, которая локально изоморфно нильпотентной градуированной группе Ли. Более того, если на пространстве задана (квази)метрическая структура, определенным образом согласованная с растяжениями, то полученную группу можно рассматривать как касательный конус к соответствующему (квази)метрическому пространству. Исследование мотивировано изучением метрических свойств пространств Карно – Каратеодори.

5.3. Исследуется аппроксимативная дифференцируемость измеримых отображений пространств Карно-Каратеодори. Доказано, что аппроксимативная дифференцируемость почти всюду эквивалентна аппроксимативной дифференцируемости вдоль базисных горизонтальных векторных полей почти всюду. Полученные результаты обобщают теоремы Степанова (1923 и 1925 года), Уитни (1951 года) и Водопьянова (2000 года).

5.4.  Доказано существование ограниченных равномерных областей в метрике Карно - Каратеодори на группе Энгеля.

5.5.  Исследуется жесткость изометрий на первой группе Гейзенберга. Доказано, что всякая квазиизометрия области Джона близка к некоторой изометрии на всей области определения. Найдена асимптотически точная оценка близости в равномерной норме.

6. Исследование регулярности решений дифференциальных уравнений, в частности, субэллиптических уравнений в геометрии векторных полей.

6.1.  Рассмотрены субэллиптические системы в трехмерном случае. Получены оценки норм Бесова слабых решений таких систем, сходные с классическими оценками Шаудера. Доказано несколько вспомогательных утверждений относящихся к теории функциональных пространств. Полученные оценки могут быть использованы для построения метода решения некоторых краевых задач. Показано, что исследуемые системы описывают важные в приложениях модели теории упругости.