Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 4 )

Итоговый упругий потенциал можно записать следующим образом

(18)

Функция обладает следующими свойствами:

является выпуклой функцией своих аргументов;

есть функция главных инвариантов матрицы ;

Поскольку справедливо неравенство , то потенциал можно использовать для получения канонической системы уравнений Годунова. Таким образом, небольшая модификация упругого потенциала из работы (Годунов, Пешков, 2008) позволила добиться его выпуклости по всей совокупности аргументов. Ниже показано, что использование подобного приближения позволяет резко уменьшить вычислительные затраты на наиболее сложном этапе реализации схемы Годунова для уравнений теории упругости - на этапе реализации распада разрыва. Для упрощения сравнения с работой (Годунов, Пешков, 2008), будем полагать, что процесс деформации является адиабатическим, т. е. , а роль негэнтропии играет полная энергия.

Как известно, при реализации схем, основанных на распаде разрыва, ключевым этапом является решение линеаризованных одномерных нестационарных задач гиперболического типа с использованием инваринтов Римана. При этом необходимо симметризовать систему (13), как указано выше, и решать спектральные задачи, которые необходимы для построения инвариантов Римана.

Рассмотрим одномерную гиперболическую задачу

(19)

Где в качестве переменной выбирается, скажем , а

Вектор переменных составлен из . При этом матрица не является симметричной, но симметризуется, если умножить ее слева на матрицу , где роль негэнтропии играет полная энергия. Таким образом, вместо системы (19) можно получить систему

(20)

где . Для упругих потенциалов общего вида эти матрицы выписаны в работе (Годунов, Пешков, 2008).

Если сделать замену переменных , где - ортогональная матрица, составленная из собственных векторов симметричной матрицы , то можно получить систему скалярных уравнений

(21)

где - диагональная матрица. Величины - это Римановы инварианты, а - это характеристические скорости, которые можно интерпретировать как скорости распространения звуковых волн в среде.

Построение представления (21) в работе (Годунов, Пешков, 2008) с использованием внутренней энергии вида (16) требует построения сингулярного разложения матрицы . При этом была выписаны в явном виде собственные значения и собственные вектора матрицы , что потребовало использования системы символьных вычислений MAPLE. Итоговые расчетные формулы оказались весьма сложными и громоздкими. Выпишем матрицы для потенциала (18). Поскольку в данном случае в качестве неизвестных можно ограничиться величинами , т. е. первым столбцом матрицы , то сокращения выкладок можно полагать, что размерность этих матриц равна . Таким образом их можно записать в блочном виде

где обозначает единичную матрицу размера . Очевидно, что вычисления собственных значений и собственных векторов для данного пучка матриц является тривиальной задачей, а полученные формулы имеют простой вид. Также очень просто строится диагонализация в случае, когда рассматривается недивергентное представление в двойственных переменных. В работе (Годунов, Пешков, 2008) вместо единичной матрицы необходимо использовать общую симметричную положительно определенную матрицу. Таким образом, использование приближения (18) позволяет избежать вычисления сингулярного разложения, и практически на порядок уменьшает вычислительные затраты на диагонализацию по сравнению с первоначальной аппроксимацией внутренней энергии упругого материала.

Решение вариационных задач теории упругости с конечными деформациями на основе метода проекции градиента в трехмерных областях, являющихся изоповерхностями функций, представимых в виде разности выпуклых

Задание областей сложной формы как изоповерхностей некоторой скалярной функции, поведение которой напоминает функцию расстояния от границы со знаком, является мощным и эффективным методом геометрического моделирования. Неявные функции можно строить, используя поверхностную триангуляцию, облако точек, набор плоских сечений, ``суп'', состоящий из несвязанных ребер и граней. Все эти способы можно комбинировать между собой и с аналитически заданными примитивами посредством булевых операций.

Рассмотрим ограниченную область . Будем предполагать, что граница является липшицевой и кусочно-регулярной, причем окрестность каждой точки границы в некоторой системе координат можно представить как график функции, представимой в виде разности выпуклых функций.

Пусть задана некоторая функция такая, что во внутренних точках области выполнено , а в дополнении области справедливо

Предполагается, что функция непрерывна по липшицу, представима в виде разности выпуклых функций, является кусочно-гладкой, и ее производные вдоль некоторого невырожденного векторного поля, транверсального к , существуют и не равны нулю в некотором конечном слое около . Слой определяется следующим образом: предполагается что существует некоторая постоянная такая, что содержит объединение всех шаров радиуса с центрами, лежащими на . Далее для краткости будем называть такую область неявной областью.

Рассмотрим метод решения уравнений нелинейной теории упругости, в котором упругая деформация строится как отображение некоторой заданной области в лагранжевых координатах на неявную область в эйлеровых координатах. По существу, этот же метод используется для построения расчетных сеток, поскольку построенная упругая деформация отображает декартову сеть в лагранжевых переменных на криволинейную сеть в эйлеровых переменных.