Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 11 )

  a·x=a+x+1/2 [a, x]=La(x) − левый сдвиг x на элемент a,  (44)  коммутатор [a, x]  определяется при помощи следующей формальной таблицы 

  [ek, el]=∑j=1N Ckljej,  deg ek =deg el=1,  deg ej=2,  Cklj  =const,  (45)

где ei  − базисные орты евклидова пространства  RN, разделенные на два непересекающихся множества E1, E2; орты  ek, принадлежащие Ei, имеют степень deg ek =i, и все константы  Cklj из (0.4), для которых k+l>2, равны нулю. Будем считать, что первые N1  ортов образуют E1, остальные образуют E2. Стандартным образом, используя (0.3), определяются левоинвариантные базисные векторные поля X1,…,XN. Пусть V1 − векторное подрасслоение касательного расслоения, натянутое на  первые N1  векторные поля Xi,

V2 − векторное подрасслоение касательного расслоения, натянутое на

оставшиеся векторные поля. Из определения 2-ступенчатой группалгебры Карно вытекает, что V2=[V1, V1]. Векторные поля, принадлежащие  V1, называются горизонтальными. Единица группалгебры G совпадает с точкой 0 (начало координат евклидова пространства RN), для каждого u∈ G мы имеем u-1=-u. Параметризованная абсолютно непрерывная кривая  г(s), где  s принадлежит отрезку [0,s0], называется горизонтальной, если для почти всех s ее касательный вектор в точке s принадлежит векторному пространству V1(г(s)). Длина параметризованной горизонтальной кривой г(s) определяется при помощи формы скалярного произведения, индуцированной векторными полями X1,…,XN, стандартным образом. По теореме Рашевского — Чоу любые две точки группалгебры Карн мы можем соединить абсолютно

непрерывной параметризованной горизонтальной кривой конечной длины. Метрика Карно — Каратеодори dcc определяется на G как

  dcc(u, v)=inf  l(г), где г−горизонтальная абсолютно непрерывная кривая, соединяющая точки u, v. На метрическом пространстве (G, dcc) действует однопараметрическая группа растяжений  дt, t>0, по правилу

  дt(x)=дt(x1,….xN)=(tdeg e1 x1,…., tdeg eN xN).

Метрика  dcc инвариантна относительно левых сдвигов и действия группы растяжений, т. е.        dcc (Lau, Lav)=dcc (u, v),        dcc (дtu, дtv)=t dcc (u, v).  Открытые шары в метрике  dcc с центром в точке u радиуса R мы будем обозначать символом  Bcc(u, R) (СС-шары). Множество C(u, h,r) назовем cc-однородным конусом с вершиной в точке u, высотой h, радиусом r, если C(u, h,r) представляет собой объединение параметризованных кривых вида

uдt(x), где x принадлежит некоторому cc-шару Bcc (y, r), а u не принадлежит

Bcc (y, r). Говорим, что ограниченная  область D удовлетворяет условию cc-внутреннего cc-однородного конуса, если найдется константа K>0 такая, что

для каждой точки u∈∂D найдется cc-однородный конус C(u, h,r) ∈cl D, h=h(u), r=r(u), такой, что  K-1< h(u)<K, K-1< r(u)<K, где константа K не зависит от u.

Доказательство выполнения условия внутреннего cc-однородного конуса для cc-шаров 2-ступенчатых группалгебр Карно базируется на следующих фактах:  C∞-гладкость cc-кратчайших 2-ступенчатых группалгебр Карно и некоторых равномерных оценках производной произвольной  cc-кратчайшей 2-ступенчатой группалгебры Карно. Методы получения таких оценок основаны на детальном изучении cc-кратчайших  как экстремалей соответствующей неголономной вариационной задачи.

1.5.2  Цель исследования – получение тонких свойств экстремальных поверхностей на неголономных структурах: в субримановой и сублоренцевой геометрии. Известно, что экстремальные поверхности важны для решения многих прикладных и теоретических задач.

Минимальные (или, в более общем случае, экстремальные) поверхности – естественные обобщения геодезических. В евклидовых пространствах минимальные поверхности играют одну из основных ролей, так как они часто возникают в природе: простейшим примером минимальной поверхности является мыльная пленка. В неголономной геометрии вопрос об их регулярности является одним из наиболее трудных и важных. В настоящее время исследованы только частные случаи неголономных минимальных поверхностей Н. Гарофало, его коллегами и учениками. Приложения минимальных поверхностей к построению моделей визуализации описаны в [53]-[55]. Доказано, что принципы, по которым человеческий мозг достраивает отсутствующую часть черно-белого изображения, основаны на свойствах минимальных поверхностей двуступенчатых пространств Карно – Каратеодори. Так как важно построение моделей визуализации для цветных изображений, то необходимо исследовать тонкие свойства минимальных поверхностей в пространствах Карно – Каратеодори глубины больше двух. Кроме того, свойства неголономных минимальных поверхностей полезны в физике и гравитации: например, при изучении черных дыр. В более общей ситуации, т. е., в сублоренцевой геометрии, остаются открытыми вопросы даже о базовых свойствах экстремальных (максимальных) поверхностей. Сублоренцева геометрия – “субриманово обобщение” геометрии Минковского (см., например, [56]), и сейчас она существенно менее исследована, чем упомянутые выше субриманова геометрия и геометрия Минковского. Иногда некоторые классы максимальных поверхностей интерпретируются как вселенные. Согласно гипотезе Нильсена (см. [57]), решения уравнения тяготения Эйнштейна физически содержательны тогда и только тогда, когда они реализуемы в виде поверхностей нулевой средней кривизны (т. е., максимальных поверхностей). Изучение максимальных поверхностей может выявить новые (даже для случая геометрии Минковского) свойства и приложения. Сказанное выше мотивирует иследование экстремальных поверхностей в субримановой и сублоренцевой геометрии.

Один из полученных результатов в этом направлении – вывод необходимых условий на экстремальность поверхности. Нами введено адекватное понятие кривизны поверхности, представляющей собой график липшицева относительно субримановых метрик отображения классов неголономных структур (точнее, структур, допускающих представление в виде двух пересекающихся в одной точке подмногообразий, «образующих» все многообразие), и показано, что если поверхность экстремальная, то ее средняя кривизна равна нулю. Отметим, что для решения задачи введено также новое понятие вариации отображения. Дело в том, что на субримановых структурах складывать точки мы не можем, поэтому невозможно напрямую определить вариацию вида . Но в силу того, что на этих структурах существуют неголономные растяжения, то есть возможность «притянуть» одну точку к другой сколь угодно близко. Иными словами, возможно сжать одну точку относительно другой. Для евклидовых пространств такое действие соответствует рассмотрению отображения .

При изучении свойств поверхностей на структурах важно знание и тонких свойств этих структур. В ходе проекта получены новые тонкие результаты по локальной геометрии многообразий Карно в условиях минимальной гладкости базисных векторных полей: представление базисных полей через поля, определяющие локальную группу Карно, теорема Громова о сходимости масштабированных базисных векторных полей к нильпотентизированным, локальная аппроксимационная теорема для метрик Карно – Каратеодори, теорема Митчелла и др. Остановимся на некоторых результатах более подробно.

Определение 1. Фиксируем связное риманово гладкое многообразие M размерности N. M называется многообразие Карно, если в касательном расслоении TM фиксировано подрасслоение HM, и существует набор dim HxM=dim H1<…<dim Hi<…<dim HM=N, 1<i<M, такой, что для каждой точки pM существует окрестность UM с набором -гладких векторных полей X1,…,XN таких, что во всех точках vU:

1) X1(v),…,XN(v) образуют базис TvM;

2) Hi(v)= span{X1(v),…,Xdim Hi(v)} – подпространство TvM размерности dim Hi;

3) [Xi, Xj](v)=, где степень deg Xk определяется как

min{m|XkHm};

4) фактор-отображение [. ,.]0:H1Hj/Hj-1 Hj+1/Hj, H0={0}, индуцированное скобками Ли, является эпиморфизмом для всех 1j<M.

Определение 2. Пусть , и . Тогда .

Теорема Громова (случай -гладких векторных полей). В компактной окрестности M имеем равномерную сходимость , i=1,...N, к полям , образующим нильпотентную градуированну алгебру Ли.

Теорема Громова следует из следующего свойства базисных векторных полей.

Теорема (представление базисных векторных полей; -гладкий случай). Пусть M – компактная окрестность, , и риманово расстояние между u и v сравнимо с . Тогда , где , если deg Xi=deg Xj; , если deg Xi>deg Xj, и , если deg Xi<deg Xj.