Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 5 )

При этом возникает задача минимизации внутренней энергии с учетом граничных условий проскальзывания на неявной границе. Для решения задачи минимизации используется итерационный метод, который можно отнести к классу методов проекции градиента.

Пусть в многогранной области построено тетраэдральное разбиение , состоящее из тетраэдров, с вершинами, из которых являются граничными. Обозначим через , вершины разбиения , и пусть на каждом тетраэдре введена локальная нумерация вершин , , , . Для каждого тетраэдра этого разбиения можно ввести понятие целевого тетраэдра, который в данной работе выбирается как равносторонний. Обозначим через , , , вершины целевого тетраэдра .

Составим матрицы и

. Предполагается, что столбцы этих матриц составляют правую тройку в , т. е. и . Объем тетраэдров задаетcя следующими известными формулами

Матрица Якоби афинного отображения записывается как .

Будем искать отображение, доставляющее минимимум следующему функционалу, который можно рассматривать как аппроксимацию запасенной энергии упругой деформации

(22)

Здесь - внутренняя энергия деформации.

Численный эксперименты с построением трехмерных отображений проводились с внутренней энергией следующего вида

(23)

Где член вида

(24)

представляет собой ``упругий'' вклад в энергию деформации от сдвиговых деформаций, а также играет роль меры искажения формы. При этом весовой коэффициент играет роль модуля сдвига.

Член вида

(25)

представляет собой обезразмеренную газодинамическую часть внутренней энергии. Его можно интерпретировать как меру искажения объема. Весовой коэффициент играет роль модуля всестороннего сжатия.

В практических расчетах выбиралось значение .

Будем рассматривать два типа граничных условий. Первый - это граничное условие Дирихле, когда граничная вершина фиксирована. Второй важный случай - это граничные условия проскальзывания, когда точка в процессе оптимизации сетки может двигаться по поверхности

Будем предполагать, что вектор определен. Если же функция не является дифференцируемой в классическом смысле в точке , для приближенного вычисления градиента можно использовать касательный конус к в данной точке, который всегда существует. Множество направлений вектора градиента выбирается из условий ортогональности обобщенным опорным плоскостям в вершине конуса. На практике приближенное значение градиента получается при помощи простейших конечных разностей.

Таким образом, далее предполагается, что в точке можно вычислить векторы , , касательных к границе области , для которых справедливо равенство .

Тогда уравнение стационарноcти функционала в вершине можно записать так:

			(26)
			(27)

Эта система состоит из уравнений, и им соответствуют переменных, из которых составлен вектор .

Пусть обозначает приращение в точке . Линеаризуя уравнение (27), получаем следующее уравнение для

Таким образом, если лежит на границе области , то , и можно представить как линейную комбинацию векторов :

(28)

где - произвольные коэффициенты. Иными словами, равенство (28) означает, что допустимо движение граничных узлов только вдоль касательной плоскости к границе.

Предположим, что не лежит в точности на границе области. Обозначим через оператор проецирования на границу, который возвращает граничную вершину на поверхность при помощи следующего простого итерационного алгоритма