Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 7 )

Рис.2. Нулевая изоповерхность и образы нескольких декартовых координатных плоскостей при упругой деформации.

На рис.2. показан пример, в котором неявная функция со знаком строится по поверхностной триангуляции (так называмой STL модели). В данном примере строится упругая деформация конечного кругового цилиндра на неявную область, причем нижнее основание цилиндра отображается на тело сложной формы, которое задано указанной выше неявной функцией, верхнее основание отображается на поверхность кругового параболоида, а боковая сторона цилиндра отображается на плоскую область, гомеоморфную кольцу. Особенно сложной с геометрической точки зрения оказалась конфигурация, показанная справа.

Число степеней свободы в этом примере около 1.2 миллиона, причем для аппроксимация упругой деформации на гексаэдральных сетках приходится разбивать каждый гексаэдр на некоторое количество тетраэдров, что позволяет использовать описанную выше схему оптимизации. Полное количество тетраэдров в этой задаче - около 10 миллионов. При этом для использования неявного метода оптимизации оперативной памяти, адресуемой 32-х разрядной архитектурой процессора оказывается недостаточно, поскольку в матрице линейной системы и в ее неполной факторизации оказывается достаточно много ненулевых элементов. Таким образом, в результате пришлось использовать гибридную схему, в которой метод спуска основан на решении системы линейных алгебраических уравнений на каждом шаге с помощью метода сопряженных градиентов без использования предобусловливания. При этом нет необходимости решать линейные системы с высокой точностью. Вполне достаточным оказалось уменьшение начальной невязки в 100 раз. Оказалось, что подобная схема сохраняет надежность неявных методов, требуя существенно меньше памяти.

В приведенном тестовом примере упругая деформация не имеет физического смысла и использовалась как средство для автоматического построения высококачественных трехмерных расчетных сеток для инженерных моделей.

1.2 Уравнение Бюргерса в механике сплошных сред и неголономных многообразиях

Исследованы свойства поверхностей уровня непрерывно горизонтально дифференцируемых (hc-дифференцируемых) отображений из пространства Карно — Каратеодори M такого, что dim HgM = dim TgM – 1 = N в каждой точке g ∈M, в евклидово пространство размерности N. Данная работа является подготовительной к общей проблеме описания спрямляемых многообразий на пространствах Карно — Каратеодори. Её результаты обобщают некоторые результаты работ [1] и [2], в которых исследованы поверхности уровня hc-дифференцируемых отображений f : H1 → R2.

Также, как и в предыдущих работах, описана геометрия поверхности уровня hc-дифференцируемого отображения, дифференциал которого имеет максимальный ранг:

Теорема 1. Пусть отображение f : M → RN hc-дифференцируемо и его дифференциал имеет максимальный ранг. Тогда для каждой точки g ∈f-1(0) найдётся окрестность U(g) такая, что f-1(0) ∩ U(g) есть образ простой жордановой кривой и имеет топологическую размерность 1.

Кроме того, изучены метрические свойства таких поверхностей уровня. Доказана следующая

Теорема 2. Пусть отображение f : M → RN hc-дифференцируемо и его дифференциал имеет максимальный ранг. Тогда его поверхность уровня f-1(0) локально является образом простой кривой γ: [0,1] → M и в субримановой метрике имеет хаусдорфову размерность dimH γ([0,1]) = 2. При этом длина кривой может быть найдена как

H2(γ) = lim||σ||→0 Σk=1..n d(γ(ak-1), γ(ak))2,

где σ= {0 = a0 < a1 < … < an = 1} и ||σ|| = maxk=1..n |ak – ak-1|.

Кроме того, если частные производные отображения f гёльдеровы, то поверхность уровня f-1(0) является 2-регулярной по Альфорсу, её длина конечна, положительна и равна пределу

H2(γ) = lim||σ||→0 Σk=1..n d(γ(ak-1), γ(ak))2.

В случае, когда область определения является нильпотентной группой (группой Карно), удаётся выразить длину кривой явно в виде интеграла Римана — Стилтьеса. Пусть группа Карно G = {(x1,…,xN, z) ∈RN+1} моделируется алгеброй Ли, имеющей базис

Xi = ∂xi + Σk=1..N ckixk ∂z,

  i=1,…,N,
Z = ∂z,  cij = - cji,  I, j=1,…,N.

Тогда верна следующая

Теорема 3. Пусть f : G → RN — hc-дифференцируемое отображение с дифференциалом максимального ранга и f(0) = 0. Тогда в некоторой окрестности нуля f-1(0) есть образ простой кривой γ: [0,1] → G, и длина кривой может быть найдена, как предел

H2(γ) = ∫γ dz + lim||σ||→0 Σi, j=1..N cij ∫σ xj dxi.

Если к тому же частные производные отображения f гёльдеровы, то длина кривой γ положительна, конечна и равна

H2(γ) = ∫γ dz + Σi, j=1..N cij ∫γ xj dxi,

где все интегралы понимаются в смысле интеграла Стилтьеса.

1.3 Энтропийные решения в теории упругости

были проведены исследования изэнтропических решений квазилинейных систем уравнений с частными производными. Кроме того, им был прочитан годовой курс дифференциальных уравнений для студентов физического факультета НГУ.

Анализ требований гладкости в классических теоремах нередко служит плодотворным источником идей для современной математики, порождая подчас магистральные направления ее развития. Приведем два ярких примера.

Согласно классической теореме Лиувилля, если  является конформным отображением класса области, то f представляет собой сужение на Ω некоторого мёбиусова преобразования. Стремление максимально ослабить требования гладкости в этой теореме привело к следующему замечательному результату (см. [5], [6]): всякое отображение, принадлежащее соболевскому классу и удовлетворяющее дифференциальному соотношению

       Dv(x)∈R+SO(n) для почти всех x∈Ω                                (35)

является либо постоянным отображением, либо сужением на Ω некоторого мёбиусова отображения. Здесь символом Df(x) обозначается обобщенный дифференциал, а символом SO(n), как и принято, обозначается множество ортогональных матриц с определителем 1, соответственно символом  обозначено множество матриц вида λA, где λ≥0, A∈SO(n).

Отметим, что условия гладкости в теореме Решетняка были еще более ослаблены Т. Иванцом и Г. Мартином в статье [Ошибка! Источник ссылки не найден.], где они для случая четных размерностей n=2l доказали справедливость процитированного результата в предположении. (Данный порядок интегрирования является точным, при p<n/2 в работе [Ошибка! Источник ссылки не найден.] предъявлен контрпример непостоянного - решения соотношения (35), которое не является мёбиусовым.) Конечно, такое усиление потребовало привлечения новых методов, таких, как теория Ходжа для дифференциальных форм с интегрируемыми коэффициентами, которая была развита в работе [4].

получил также глубокие результаты об устойчивости в теореме Лиувилля, более точно, об устойчивости класса конформных (мёбиусовых) отображений в классе отображений с ограниченным искажением [5]. Класс этих отображений, являющихся неоднолистным аналогом квазиконформных отображений, также был введен , который установил и их основные нетривиальные свойства, такие как открытость, изолированность и т. д., см. [6]. Отображения с ограниченным искажением быстро стали чрезвычайно популярным объектом исследования не только отечественных, но и зарубежных математиков (назвавших такие отображения квазирегулярными, см., например, монографию [7]). В свою очередь, методы теории отображений с ограниченным искажением нашли многочисленные приложения в геометрической теории функций, теории нелинейных уравнений с частными производными, механике сплошной среды и пр. (см., например, монографию [8]). Наиболее сильным и красивым достижением в теории отображений с ограниченным искажением за последние два десятилетия, является, по-видимому, результат К. Астала [9], [10], [11] об искажении площадей плоскими квазиконформными отображениями, с помощью которого был решен ряд долго стоящих проблем (см., например, [12]). В последние годы стала развиваться также теория отображений с конечным искажением (см., например, [13], [14]), которая берет начало от красивого результата и [15] (см. также [16]) о непрерывности и монотонности таких отображений. Этими же авторами установлена глубокая связь между квазиконформными отображениями и изоморфизмами соболевских пространств (см. [16]).

Тематика, о которой шла речь, имеет важные приложения не только в анализе, но и в геометрии. Так, квазиконформные отображения имеют глубокую связь с построенными изотермическими системами координат в двумерных пространствах Александрова ограниченной кривизны1 [17]. Из более современных работ, связывающих квазиконформный анализ и геометрию, отметим уже упомянутую статью [4], посвященную квазиконформным структурам на многообразиях.

Еще одним примером, когда изучение требований гладкости в классической теореме жесткости порождает целые направления в геометрии и в анализе, является следующая теорема (связанная с именами Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена): Если  есть - гладкое изометрическое погружение n-мерной сферы единичного радиуса, то множество конгруэнтно.  (По поводу распространения этой теоремы на случай изометрических погружений класса см. работу [18].) Поскольку в определении изометрического погружения участвуют лишь первые производные, естественно было предположить, что процитированная теорема останется верной и для - гладких отображений. Однако эта долго стоявшая гипотеза была опровергнута Дж. Нэшом [19] и Н. Кейпером [20], которые доказали, что для любого ε>0 существует - гладкое изометрическое вложение сферы в шар радиуса ε пространства. Более точно, Дж. Нэш и Н. Кейпер установили, что всякое - гладкое локально L-липшицево погружение (вложение)  n-мерного риманова пространства V с n<k и L<1 можно аппроксимировать в C-норме последовательностью - гладких изометрических погружений (вложений).