Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 17 )

Доказанные оценки позволяют построить метод нахождения решений задачи Неймана для рассматриваемых уравнений.

Полученные оценки верны для более широкого класса коэффициентов (с меньшим условие регулярности) чем классические оценки Шаудера. Они также как оценки Шаудера могут быть использованы для построения решений краевых задач методом продолжения по параметру.

Рассмотрен только модельный трехмерный случай. Однако он наиболее часто встречается в приложениях. С нашей точки зрения, доказательство аналогичных неравенств в многомерном случае не потребует новых идей. Хотя, возможно, оно потребует более громоздких вычислений.

Было начато исследование о возможности применения теории субэллиптических уравнений для изучения физических моделей деформации  композиционных материалов. Частично цели в этом направлении достигнуты.

Было начато исследование о возможности построения теории пространств Соболева для функций со значениями в группе невырожденных матриц, а также других обобщений пространств Соболева, с целью применить соответствующий аналитический аппарат для исследования важных нелинейных задач механики сплошных сред и дифференциальной геометрии.

Даны основополагающие определения, проверена их корректность, эквивалентность некоторых определений. Исследования этих вопросов находятся на начальном этапе, но с теоретической точки зрения они являются многообещающими. 

2.2 Рекомендации по возможности использования результатов НИР в реальном секторе экономики

Полученные в рамках НИР результаты по локальной структуре пространств Карно-Каратеодори их их приложения к теории оптимального управления могут быть применены для построения и анализа моделей фондовых рынков, а также для создания программных продуктов с алгоритмами планировании движения для различных механических систем.

3 Публикации результатов НИР

Заключение

В ходе третьего этапа  НИР «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред»  коллектив под руководством д. ф.-м. н. профессора   спешно выполнил все анонсированные задачи.

Получены новые теоретические результаты в области метрической геометрии, теории соболевских гомеоморфизмов и квазиизометрических отображений, теории энтропийных и изэнтропийных решений, а также геометрического анализа на некоммутативных группах Ли и более общих пространствах Карно—Каратеодори. Полученные результаты применены для теоретического исследования и численного решения трехмерных нестационарных задач нелинейной теории упругости и пластичности, теории оптимального управления для неголономных систем, а также других задач механики сплошных сред.

Отметим некоторые наиболее важные результаты.

Факты, обобщение классических фактов гладкого анализа (таких, как теорема Морса-Сарда) на случай соболевских пространств, нашли применение в математической гидродинамике. В частности, доказан аналог закона Бернулли для соболеских решений уравнений Эйлера. Тем самым выкован новый тонкий инструмент исследований, что открывает новые перспективы.

Получены новые результаты о свойствах нового класса отображений римановых пространств, основным из которых является емкостная оценка для образа конденсатора. Этот класс отображений является естественным обобщением класса отображений с ограниченным искажением. Для нового класса доказано следующее обобщение теоремы Лиувилля: если существует отображение данного класса двух римановых многообразий, то образ является параболическим многообразием, если только таковым является прообраз. Как квалифицирующее средство римановых многообразий этот результат имеет такую интерпретацию: если образ – гиперболическое многообразие, а прообраз параболическое, то не существует отображения нового класса из одного многообразия в другое.

Впервые исследована проблема жесткости изометрий на трехступенчатой группе Карно – группе джетов J2(R, R). Получена количественная жесткость изометрий на областях Джона группы джетов J2(R, R) в равномерной норме и в норме Соболева.

Получены новые результаты как о тонких свойствах многообразий Карно, так и о свойствах классов поверхностей на них, разработаны новые методы исследования и новые подходы. Они будут обобщены использованы в дальнейшем для выявления существенно новых свойств субримановых и сублоренцевых структур, а также для исследования и решения адаптированных классических задач на неголономный случай. В частности, они важны для развития теории геометрического (оптимального) контроля на неголономных структруах, которая имеет огромное значение при решении важных прикладных задач физики (процесс диффузии, изучение черных дыр), квантового контроля (имеющего приложения в изучении ядерного магнитного резонанса и в медицине), экономики (финансы, теория биржевых котировок, в ценовые задачи, стохастические модели волатильности европейских фондовых рынков, в математические модели для облигаций и процентных ставок), нейробиологии (моделирование работы человеческого головного мозга, в частности, задачи визуализации), роботехники (отыскание траекторий, соединяющих две конфигурации системы, задача о машине с прицепами, движение космических аппаратов), и др. Результаты и методы могут быть использованы при подготовке спецкурсов для студентов и аспирантов.

Проведенные исполнителями НИР исследования опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах и доложены на всероссийских и международных конференциях.

Список литературы

[1] G. P. Leonardi, V. Magnani, Intersections of intrinsic submanifolds in the Heisenberg group // Preprint, 2010. arXiv:1009.5302v1

[2] A. Kozhevnikov, Rugositй des lignes de niveau des applications diffйrentiables sur le groupe d'Heisenberg // Ecole Polytechnique, Palaiseau, France. Preprint, 2011.

[3]        Iwaniec T., Martin G. Quasiregular mappings in even dimensions // Acta Math. 1993. V. 170, 1. P. 29–81.

[4]         Donaldson S. K., Sullivan D. P. Quasiconformal 4-manifolds // Acta Math. 1989. V. 163, 3-4. P. 181–252.

[5]        Решетняк устойчивости в геометрии и анализе. //

Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН, 1996.

[6]        Решетняк отображения с ограниченным искажением // Новосибирск: «Наука», 1982.

[7]         Rickman S. Quasiregular mappings. // Vol. 26 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Berlin: Springer-Verlag, 1993.

[8]         Iwaniec T., Martin G. Geometric function theory and nonlinear analysis. Oxford Mathematical Monographs. // New York: The Clarendon Press Oxford University Press, 2001.

[9]         Astala K. Area distortion of quasiconformal mappings // Acta Math. 1994. V. 173. P. 37-60.

[10] Astala K. Analytic aspects of quasiconformality. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Berlin, 1998). V. II // Doc. Math. 1998. Extra Vol. II. P. 617-626.

[11]         Astala K., Clop A., Mateu J., Orobitg J., Uriarte-Tuero I. Distortion of Hausdorff measures and improved Painleve removability for quasiregular mappings // Duke Math. J. 2008. V. 141, 3. P. 539-571.

[12]        Astala K., Iwaniec T., Saksman E. Beltrami operators in the plane // Duke Math. J. 2001. V. 107, 1. P. 27-56.

[13]        Iwaniec T., Koskela P., Onninen J. Mappings of finite distortion: monotonicity and continuity // Invent. Math. 2001. V. 144, P. 507-531.

[14]         Astala K., Iwaniec T., Martin G., Onninen J. Extremal mappings of finite distortion // Proc. London Math. Soc. (3). 2005. V. 91, 3. P. 655-702.

[15]        , Гольдштейн отображения и пространства функций с первыми обобщенными производными // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, 3. С. 515-531.

[16]        , Решетняк в теорию функций с

обобщенными производными и квазиконформные отображения

// М.: «Наука», 1983.

[17]        Решетняк многообразия ограниченной кривизны  // Геометрия-4: Нерегулярная риманова геометрия. – М., 1989. – С. 8-189. (Итоги науки и техники. Соврем. пробл. математики. Фундам. направления; Т. 70).

[18]         - изометрические погружения римановых пространств // Доклады АН. 1965. T. 163. С. 11-13.

[19]        Nash J.  isometric imbeddings // Ann. of Math. 1954. V. 60. P. 383-396.

[20]        Kuiper N. H. On - isometric imbeddings. I // Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 1955. V. 58. P. 545–556.

[21]        ифференциальные соотношения с частными производными // М.: «Мир», 1990.