Наименование НИР: «Методы метрической геометрии и анализа на неголономных многообразиях в задачах механики сплошных сред» (стр. 9 )

Оказалось, что с помощью теории изэнтропических решений и других современных методов можно решить некоторые давно стоявшие проблемы. Например, совместно с [41] нашли необходимые и достаточные условия на непрерывную функцию φ с тем, чтобы Гамильтона-Якоби на плоскости  имело нетривиальные (т. е. неаффинные) - гладкие решения. В последнем уравнении производные,  лишь непрерывны и, как может показаться сначала, это соотношение не может дать ничего больше естественного свойства непрерывности функции φ. Однако, согласно неожиданному результату и , функция φ должна удовлетворять достаточно жестким аналитическим условиям, в частности, φ должна быть дважды дифференцируема почти всюду. Этот результаты соприкасаются с указанным выше направлением исследований дифференциальных соотношений вида (41).

Развитию этих результатов была посвящена серия работ [37], [42], [43]. В работе [37] исследовал более сложную проблему: случай произвольной - гладкой функции v двух переменных, у которой внутренность множества значений градиента пуста. В этом случае он установил, что множество значений градиента функции v локально представляет собой кривую, которая имеет в каждой точке касательные в некотором слабом смысле, и направление этих слабых касательных меняется как функция ограниченной вариации. В то же время удалось [43] построить - гладкую функцию двух переменных, у которой множество значений градиента является дугой, не имеющей касательной (в обычном смысле) ни в одной точке. Указанные результаты нашли применение в геометрии. А именно, оказалось, что график функции v, о которой шла речь выше, представляет собой нормальную развертывающуюся поверхность [37].

Вообще, вопрос о том, каким условиям должно удовлетворять множество K, чтобы оно было образом градиента - гладкой функции, привлекает внимание многих зарубежных исследователей. Отметим сравнительно уже упомянутую статью [KolarKristensen05], в которой доказано, что если множество K является образом градиента  некоторой функции, v≠const, и если выполнены некоторые дополнительные условия (гельдеровость ∇v и т. п.), то множество K является замыканием своей внутренности. Вопрос о том, будет ли это утверждение верным, если мы отбросим упомянутые дополнительные условия типа гельдеровости ∇v, несколько лет оставался нерешенным. Положительный ответ на этот вопрос был получен в работе [37].

Отметим также работы [44], [45], в которых изучались геометрические свойства образов производных дифференцируемых (негладких) функций в многомерном случае изучались ранее.

Подводя некоторый итог, можно сказать, что теория изентропических решений д. у. для случая функций двух переменных в значительной степени уже построена, и найдены ее обильные приложения в анализе и геометрии. Однако для случае функций многих переменных в теории изентропических решений сделаны лишь первые штрихи (см., например, [41]). Принципиальные открытые вопросы начинаются здесь уже на уровне определений. Например, до сих пор неясно, верно ли, что всякое непрерывное обобщенное решение соответствующего квазилинейного уравнения является его изентропическим решением?  Не вызывает сомнений, что ответы на подобные вопросы позволят получить ряд новых тонких результатов не только в теории д. у., но и в анализе. Указанный ниже результат является важным шагом в данном направлении.

1.4 Теория дифференциальных форм в категории римановых и субримановых многообразий

  1.4.1 Дифференциальной формой степени k на гладком многообразии X называется произвольное локально-интегрируемое сечение над X расслоения внешней степени кокасательного расслоения T'X. Две формы на X одинаковы, если они совпадают на X почти всюду.

Дифференциальная форма щ степени k на X обобщенно дифференцируема, если существует такая дифференциальная форма и степени k+1 на X, что для каждой гладкой формы ц, носитель которой компактен, не пересекается с краем многообразия X и содержится в ориентируемой области , выполнено равенство

Этим равенством форма и определяется однозначно. Форма и называется дифференциалом dщ формы щ.

Предположим теперь, что на X задана гладкая риманова метрика. Эта метрика порождает в каждом слое расслоения скалярное произведение. Поэтому для каждой формы щ почти всюду на X определена функция |щ(x)|. Положим

Здесь и в дальнейшем означает меру на X, порожденную римановой метрикой многообразия X.

Пространство состоит из дифференциальных форм щ степени k, для которых , а пространство . Пространство является банаховым относительно нормы . Отметим, что пространства и совпадают.

Лемма 1 ([46]). Если риманово многообразие D полно относительно метрики , то гладкие на D формы, имеющие компактный носитель, плотны в при .

Пусть X – k-мерное гладкое ориентируемое многообразие без края конечного объема, – единичный шар в , . Пространство образовано k-формами, модуль которых интегрируем в степени p, а модуль дифференциала в степени q.

В следующем утверждении для дифференциальных форм установлен аналог аналог теоремы вложения Соболева о вложении пространства Соболева в пространство суммируемых функций.

Теорема 1. Пусть щ – гладкая форма с компактным носителем на D, . Тогда существует константа C, зависящая только от X, m, p, q, такая, что выполнено неравенство

Если форма , то в силу леммы 1 существует такая последовательность гладких k-форм с компактными носителями , что   Это свойство позволяет определить интеграл

Пусть есть другая последовательность гладких форм с компактными носителями , что   Тогда