Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 10 )

Пусть теперь неполное кубическое уравнение имеет действительные коэффициенты:

  x + px + q  =  0,  p, q R  (1)

По-прежнему рассматриваем случай  pq ≠ 0 (cлучай  pq = 0 в исследовании корней достаточно тривиален).

Имея нечетную степень, уравнение (1) обязательно имеет хотя бы один вещественный корень. Исследованию подлежат, поэтому, два других корня уравнения (1): условия их вещественности или комплексности (а значит  -  сопряженности!). Обратимся к дискриминанту уравнения (1) ((17) §8):

  D  =  () + ()  (2)

Теперь  D R. Ясно, что выводы по комплексному уравнению справедливы и для вещественного. В частности, при  D = 0 корни уравнения (1) находятся по формулам  (24) §8 (запомним!). Поэтому, исследованию подлежит случай D ≠ 0. В силу вещественности D здесь возникают два случая (которых не было в «комплексном» варианте):  D > 0 и D < 0. Рассмотрим эти случаи.

  D > 0  (3)

Неравенство (3) позволяет найти вещественное число  a R такое, что

  D = a  (4)

Из формул (10) §7, в силу (4), следует, что одно из значений кубического радикала  u  является вещественным. Но тогда на основании (12)  §7 согласованное с ним значение второго кубического радикала  v  так же является вещественным. Итак, промежуточный результат: При положительном дискриминанте вещественного неполного кубического уравнения для записи его корней в тригонометрической форме (по формулам Кардано) согласованные значения  u и v  могут быть выбраны вещественными. Считаем что указанный выбор совершен:

  u, v R  (5)

Воспользовавшись тригонометрической формой корней (15) §8, мы, в силу (5), усматриваем:

  б = u + v R,  б =  uе + vе С (R),  б = uе +  vе =   (6)

Как вывод формулы (6) гласят:

  Вывод 1. При положительном дискриминанте вещественное, неполное кубическое уравнение имеет один вещественный и два комплексных, сопряженных корня. 

Рассмотрим теперь второй случай знака дискриминанта D:

  D < 0  (7)

Неравенство (7) позволяет найти вещественное число  a R такое, что

  D = - a  (8) 

В силу (8) формулы (10) §7 примут вид:

  u = ,  v =    (9)

Под знаками кубических радикалов (9) стоят сопряженные числа. Поэтому, значения этих радикалов попарно сопряжены (см. свойства сопряженных чисел). Пусть u  -  одно из значений радикала u. Тогда   -  одно из значений радикала v. Отсюда по формулам (13), (14) §8 получим все значения радикалов  u  и v:

  u:  u, uе,  u е  (9)

  v:  , е,  е  (10)

Требованием (12) §8 каждое из значений (9) согласовано точно с одним значением (10) так, что суммы согласованных значений  u  и v  (их  -  три пары!) и есть корни исходного уравнения (1). Но в нашем случае  -  в силу вещественности p (см. (1))  -  такими согласованными парами могут быть только u  и  ,  uе  и  е,  uе  и  е. Отсюда получаем три корня уравнения (1)  (см. (15) §8) :

  б =  u +  ,  б = uе  +е,  б = uе +е.  (11)

Из (11) сразу усматривается, что  б  R. Далее, по первому равенству (9)  §8 и свойству взаимности сопряженных чисел из (11) усматриваем, что  б =   и  б=  ,  т. е.  б,  б R. Отсюда получаем 

Вывод 2. Вещественное неполное кубическое уравнение с отрицательным дискриминантом имеет три действительных  корня.

Результаты исследования корней неполного кубического уравнения  (1) как для комплексного, так и для вещественного случаев визуализируются  в единую таблицу:

Корни  б,  б,  б  уравнения  x + px + q = 0,  pq ≠ 0
p, q C	D ≠ 0	б,  б,  б  -  различны
D = 0	кратные корни: б =  ,  б =  б = -
p, q R	D > 0	б R,  б =    C
D < 0	б,  б,  б  R

  §10. Решение в радикалах алгебраических уравнений 4-й степени. О разрешимости в радикалах уравнений выше 4-й степени