Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 6 )

  a, a, …, a, a    R  (6)

Формально многочлен f можно рассматривать как комплексный. Поэтому в поле комплексных чисел он имеет n корней, среди которых действительные корни могут быть, а могут и не быть.  Докажем следующее утверждение:

  Теорема. Если б - комплексный корень действительного многочлена, то сопряженное ему число так же является его корнем.

  Доказательство. Если б  -  действительное число, то  б =  (свойство 4 сопряженных чисел) и теорема становится очевидной. Пусть б - чисто комплексное, не действительное число. По условию f(б) = 0 или, более подробно с учетом (5):

  f(б) = a(б)  + a(б)  + ….. + a(б)  + a = 0  (7)

Теорема будет доказана, если мы покажем, что  f() = 0. Вносим х = в (5) и, опираясь на свойства сопряженных чисел, последовательно находим:

  f() = a() + a () + ….. + a  + a =

  +  + ….. +   +   =

    = = = 0

  Т. е.,  f() = 0 и теорема доказана.

  Из теоремы следует, что все комплексные (не действительные) корни действительного многочлена распадаются на пары сопряженных корней, а значит справедливо утверждение:

  Cледствие 1. Число комплексных корней действительного многочлена обязательно четное. 

  Из теоремы и ее следствия 1  из нее сразу вытекает еще одно  утверждение:

  Следствие 2. Действительный многочлен нечетной степени обязательно имеет хотя бы один действительный корень.

В самом деле, у такого многочлена в области комплексных чисел, по теореме о числе корней, число корней нечетно. А чисто комплексных корней число четное, отсюда и вытекает следствие 2.

Вернемся к сопряженным корням б и   действительного многочлена f. Обозначим через с следующий многочлен (легко усматривается, что он  -  действительный):

  с  =  (х - б)(х - )    R[x]  (8)

Поскольку, как доказано, в кольце C[x] многочлен f  делится как на  х - б  так и на  х - , а линейные двучлены  х - б  и  х -   -  взаимно простые (можно проверить критерием взаимной простоты), то  f делится на их произведение, т. е.  на  с  -  действительный квадратный трехчлен, обладающий двумя комплексными сопряженными корнями. Но тогда и частное от деления  f  на с  -  обозначим его через g  -  также многочлен действительный:

  f =  с g,  где  g    R[x]  (9)

Лингвистическая интерпретация равенства (9) означает, что если f  -  действительный многочлен и б  -  его комплексный корень, то в кольце  R[x] многочлен f  делится на действительный квадратный трехчлен  с.

На основании (9) доказывется следующая теорема, полностью решающая вопрос приводимости многочленов над полем  R:

Теорема. Над полем действительных чисел неприводимы лишь многочлены 1-й степени и 2-й степени с отрицательным дискриминантом.

Доказательство. Возьмем произвольный многочлен f R[x] степени больше нуля и протестируем его на «приводимость»  над полем R  в зависимости от его степени.

1. deg f  = 1. Многочлен неприводим (см. последнее заключение §1).

deg f  = 2. Если дискриминант многочлена f  неотрицателен, то f имеет в R два корня, значит разлагается в произведение двух линейных множителей, что тождественно его приводимости над R. Если же дискриминант многочлена f  отрицателен, а f  -  тем не менее  -  приводим над  R, то f обязан разлагаться в произведение двух линейных вещественных сомножителей, доставляющих многочлену f два вещественных корня. Налицо  -  противоречие.

Мы полностью протестировали на «приводимость»  многочлены степени 1 и 2. Полученное выше противоречие, вместе со случаем 1, выделило множество многочленов, удовлетворяющих доказываемой теореме. Покажем, что иных, неприводимых над R мночленов нет. Действительно, если  f R[x]  -  не тестированный на предыдущих этапах многочлен, то его степень deg f > 2. Если f имеет вещественный корень, то он делится на вещественный линейный двучлен, а потому приводим над  R. Если же f не имеет вещественных корней, то он обладает хотя бы одним комплексным корнем  б, а значит делится на вещественный квадратный трехчлен с , что  приводит нас к равенству (9), которое, с учетом  deg f > 2, указывает на приводимость многочлена f над полем вещественных чисел  R. Теорема доказана.

§6. Числа, выражаемые в радикалах. Алгебраические уравнения  и проблема их разрешимости в радикалах

Пусть имеется n+1 комплексных чисел (для дальнейшего нам удобно обозначить количество выбранных чисел именно так):

  a, a, …..  a, a  C  (1)

  Определение. Говорят, что число б C выражается в радикалах через числа (1), если для выражения (представления, репрезентации) б через эти числа используются только четыре арифметические операции и операции извлечения корней (любой натуральной степени).