Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 19 )

  r(б) = aб + ….. + a б + a ,  a F(б)  (13)

Действительно, если хотя бы один из коэффициентов a  -  0 ≤ i ≤ n-1  -  отличен от 0, то в (10) остаток  r ≠ 0 и  (см. (13))  deg r < deg p=n. Если же в (13) все коэффициенты  a = 0, то r = 0 и в (13)  r(б) = 0. Таким образом, на основании (12) формула (13) принимает вид:

  F(б) = { aб + ….. + a б + a | a F}  (14)

Внимательное прочтение формулы (14) указывает на то, что векторное пространство F(б) натянуто на векторы

  б , …, б, 1 (=б):  (15)

  F(б) = L{ б , …, б, 1 }  (16)

Покажем, что векторы  (15) линейно независимы. Действительно, допущение противного, т. е., обращение в нуль некоторой их нетривиальной линейной комбинации, эквиалентно тому, что r(б) = 0 (см. (13)) при том, что многочлен r ≠ 0. Но в этом случае соотношение deg r < deg p вступает в противоречие с выводом по минимальному многочлену алгебраического числа, приведенному в конце §2. Итак, числа (15)  -  как векторы в F(б)  -  линейно независимы, что в свою очередь, вместе с (16), указывет на (15) как на базис пространства F(б).

Вывод. Если б  -  алгебраическое степени n (deg б = n) число над числовым полем  F, то F(б)  -  как векторное пространство  -  является конечномерным, причем dim F(б) = deg б  и его строение задается формулой (16).

Этот вывод и есть третий уровень спецификации задания простого алгебраического расширения F(б).

Пролонгация исследований строения простого алгебраического расширения  F(б), трактуемого как векторное пространство над числовым полем F, приводит к  следующему критерию алгебраичности числа б  над полем F:

Теорема (критерий алгебраичности б  над F). Число б C  алгебраично над числовым полем  F  тогда и только тогда, когда простое расширение F(б)  является конечномерным векторным пространством над F.

Доказательство. Вышеприведенный вывод (доказан!) являет собой необходимое условие критерия. Докажем достаточность этого условия. Итак, F(б)  -  конечномерно над F. Пусть, для определенности, dim F(б)  = n. В пространстве  F(б)  выделим последовательные степени числа б  -  векторы пространства,  -  количество которых превосходит размерность пространства F(б):

  б = 1, б, б, … , б,  m  ≥  n  (17)

Превышение числа векторов (17) размерности пространства (m+1 >  n) обеспечивает их линейную зависимость, т. е. обращение в нуль некоторой нетривиальной их линейной комбинации:

  a+ aб + aб +  …  + aб = 0  (18)

Нетривиальность линейной комбинации векторов в левой части (18) и само равенство (18) указывают на то, что б  -  корень ненулевого многочлена  r  = a+ ax + ax +  …  + ax F[x], т. е  б  -  алгебраично над F, что финализирует доказательство теоремы.

Определение. Если F(б)  -  простое алгебраическое расширение, то dim F(б) (= deg б  -  см. последний Вывод) называют степенью расширения поля F и обозначают [F(б)УF]:

  [F(б)УF] = dim F(б)  =  deg б  (19)

§4. Составные алгебраические расширения числовых полей, их строение (обзор)

В этом параграфе без доказательства приводятся необходимые для дальнейшего сведения.

Определение. Составное расширение  F(б, б, …,б)  числового поля  F называют алгебраическим, если все числа  б, б, …,б C  алгебраичны над F.

Утверждение 1. Если  б алгебраично над  F.  б алгебраично над  F(б) и т. д.,  б алгебраично над  F(б, б, …,б) , то составное расширение F(б, б, …,б) является алгебраическим.

Комментарий. В Утверждении 1 число б уже алгебраично над F. Но числа б, …,б могут не быть алгебраическими над полем F! Утверждение фиксирует наличие чисел  в, …,в C, алгебраичных над F, которые  -  вместе с б  -  обеспечивают равенство

  F(б, б, …,б)  =  F(б, в, …,в)  (1)

Равенство (1)  -  это формализованная редакция Утверждения 1.

Утверждение 2. Всякое составное алгебраическое расширение числового поля является простым.

Формализованная версия  Утверждения 2  выглядит так:

F(б, б, …,б)  -  алгебраическое  б C алгебраическое над F   F(б, б, …,б)  = F(б)  (2)