Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 20 )

Простота составного алгебраичексого расширения, установленная Утверждением 2 (формулой (2)), позволяет говорить о степени [F(б, б, …,б) У F)] составного (как простого) алгебраического расширения (см. последнее определение §3).

Теорема. Степень составного алгебраического расширения F(б, б, …,б)  числового поля  F находится по формуле:

  [F(б, б, …,б) У F)] = [F(б, б, …,б) У F(б, б, …,б)][F(б, б, …,б) У F(б, б, …,б)] … [F(б) У F)]  (3)

Комментарий. Формула (3) легко запоминается, если каждое соотношения вида  [UУV]  в левой и правой частях (3) формально заменить дробью (формула (3)  «превращается в тождество»).

§5. Квадратичные расширения числовых полей. Разрешимость алгебраических уравнений в квадратных радикалах.

Применим наработанный аппарат расширения числовых полей к частному случаю  -  квадратичным расширениям.

Определение. Простое алгебраическое расширение F(б) поля F называется квадратичным (квадратическим), если выполняется одно из двух (эквивалентных  -  см. (19), §3)  условий

  (degб = 2)    ([F(б)УF] = 2)  (1)

Из определения следует, что простое квадратичное расширение F(б)  числового поля F, будучи интерпретировано как векторное пространство над F, имеет следующее строение (см. (14) §3):

  F(б)  = {aб + b| a, b F}  (2)

Определение. Составное алгебраическое расширение F(б, б, …,б)  поля  F  называют квадратичным (квадратическим), если таковым является каждое простое расширение в цепочке (11) §1:

F → F(б) →  (F(б))( б)→ … →(F(б, б, …,б)) )(б)  (3)

Помним (см. (10) §1), что в цепочке (3)

  (F(б, б, …,б)) )(б) = F(б, б, …,б)  (4)

Найдем степень составного квадратического расширения [F(б, б, …,б) У F)]. Для этого воспользуемся формулой (3) §4. В этой формуле значение каждого сомножителя в правой части  -  на основании второго равенства (1) и содержания, вложенного в элементы цепочки (2)  -  равно 2. Отсюда

  [F(б, б, …,б) У F)] = 2  (5)

Интерпретирум в удобном для нас виде строение простого квадратического расширения F(б). По определению  -  первое равенство (1)  -  минимальный многочлен числа  б  -  это квадратный трехчлен из F[x]. Будем считать этот многочлен нормированным и неполным, т. е. имеющим вид  х -  a, где  a F. Следовательно, число б  равно одному из значений кавадратного радикала :

  б =   (6)

Итак, если  F(б)  -  простое квадратичное расширение поля  F, то его строение, на основании (6), можно считать заданным формулой:

  F(б)  = F(),  a F,    F  (7)

Определение. Говорят, что число б выражается в квадратных радикалах через числа a,  a, ….. , a, a,  если б  представлено через эти числа  только с использованием четырех арифметических операций и опреации извлечения квадратного корня. Если указанные числа задают алгебраическое уравнение

  aх + aх + ….. + aх + a = 0  (8)

а  б  -  его корень, то говорят, что корень б уравнения (8) выражен в квадратных радикалах.

Установим теперь связь между понятиями «выражаться в квадратных радикалах» и «составное квадратическое расширение поля» применительно к алгебраическому уравнению.  Обозначим через F  составное расширение поля  Q  коэффициентами уравнения (8):

  F = Q(a, a, ….., a, a)  (9)

Расширение (9) называют областью рациональности уравнения (8). Формула (8) §1 указывает на то, что область рациональности алгебраического уравнения состоит из чисел (и только из них!), получаемых применением арифметических операций к коэффициентам этого уравнения. Обозначим через б корень уравнения (8), выражаемый в квадратных радикалах. Исполнение операций над числами a, a, ….., a, a, имеющее результатом число б, поддается упорядочению  -  расположению в последовательность. Для удобства обозначим эту последовательность операций через S. В последовательности S присутствует  t  операций извлечения квадратного корня. После исполнения первой операции извлечения квадратного корня получается некоторое число б = , где  а F. Т. е., извлечение квадратного корня выводит (потенциально) в простое квадратичное расширение F(б). Аналогично, арифметические операции из  S, следующие за первым извлечением квадратного корня, т. е. арифметические операции, совершаемяее над числами из  F(б),  не выводят из  F(б), а извлечение второго квадратного корня из последовательности  S  выводит в простое  -  по отношению к  F(б)  -  квадратичное расширение  (F(б))(б)  или, что то же самое, в составное  -  по отношению к  F  -  квадратичное расширение F(б,б). Продолжая цепочку таких же рассуждений, мы, после применения последней  -  t-й  в S  -  операции извлечения квадратного корня,  -  а затем и оставшихся из S арифметических операций,  -  получим, что число б принадлежит некоторому составному квадратическому расширению поля  F: б F(б, б, …,б). Таким образом, если число б  выражается в квадратных радикалах через коэффициенты уравнения (8), то этот корень находится в некотором составном квадратичном расширении области рациональности этого уравнения. Верно и обратное утверждение (не проверяем). В результате удается сформулировать следующий вывод, являющий собой искомую связь между понятиями «выражаться в квадратных радикалах» и «составное квадратическое расширение поля»