Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 21 )

Вывод. Корень б  алгебраического уравнения с комплексными коэффициентами выражается в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда  он принадлежит некоторому составному квадратическому расширению области рациональности этого уравнения.

§6. Критерий разрешимости в квадратных радикалах кубических уравнений

Редуцируем результаты §5 к кубическим уравнениям.

Теорема (критерий разрешимости в квадратных радикалах кубических уравнений). Кубическое уравнение с комплексными коэффициентами разрешимо в квадратных радикалах в том и только в том случае, когда хотя бы один его корень лежит в его же области рациональности.

Доказательство. Пусть дано кубическое уравнение с комплексными коэффициентами. Всегда можно считать, что его левая часть нормирована

  x + ax  + ax  + a = 0,  а, a, a, a C  (1)

Пусть, далее,  б, б, б  -  его корни

Необходимость. Пусть теперь один из этих корней, например б, лежит в области рациональности уравнения (1):

  б F = Q(a, a, a)  (2)

Соотношение (2) указывает на (формальную) выразимость  б в квадратных радикалах. Далее, поскольку б  -  корень многочлена в левой части (1), то (1) можно переписать так:

  (х - б)( x + Аx  + А) = 0  (3)

где  -  на основании (2):

  А,  А F  (4)

Уравнение (3) указывает на то, что два оставшихся корня би б  исходного уравнения (1) являются корнями квадратного трехчлена x + Аx  + А и поэтому выражаются в квадратных радикалах через коэффициенты исходного уравнения.

Мы показали выразимость всех корней уравнения (1) в квадратных радикалах. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть кубическое уравнение (1) разрешимо в квадратных радикалах. Логически возможны два случая: 1. хотя бы один из корней уравнения лежит в его области рациональности  и  2. ни один из корней уравнения (1) не лежит в его области рациональности:

  б, б, б  F  (5)

В первом случае теорема считается доказанной. Остается рассмотреть случай 2 и доказать невозможность его реализации.

Итак, пусть имеет место (5). Согласно Выводу §5 каждый из корней  б, б, б  лежит в некотором (своем) составном квадратическом расширении области рациональности F уравнения (1). Обозначим эти расширения соответственно через S, S, S. Степень каждого из этих расширений -  на основании (5)  -  больше 1. Упорядочим эти степени по величине и пусть, для определенности:

  [SУ F]  ≤  [SУ F]  ≤  [SУ F]  (6)

Возьмем теперь корень б уравнения (1) и подвергнем анализу его взаимоотношение с составным квадратичным расширением S,  в котором лежит этот корень. При этом мы фиксируем статус минимальности расширения S, т. е. считаем, что S  -  наименьшее составное квадратичное расширение для б. Иными словами, если представить  S  в виде:

  S  =  F(в, …, в, в) = (F(в, …, в))(в),  (7)

то

  б   F(в, …, в, в)    б F(в, …, в)  (8)

Замечание. Без ограничения общности дискурса, мы считаем, что статусом минимальности обладают и расширения  S,  S.

Поскольку  б   S, то из (7) усматриваем, что б может быть представлен в виде (см. (2) §5):

  б = u + v в,  u, v F(в, …, в)  (9) 

Положим в левой части (1)  х = б  и выполним предписанные действия. Контекст наших рассуждений указывает на то, что выполнение означенных действии происходит в пределах расширения  S, а значит результат выполнения этих действий есть число из S. Итак, при  х = б  левая часть (1)  -  по аналогии с (9)  -  принимает вид: