Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 4 )

Теорема. Скаляр б является корнем комплексного многочлена тогда и только тогда, когда линейный двучлен x - б делит этот многочлен: 

  (x - б)│ f  (5)

Соотношение (5) указывает на то, что остаток r от отделения f  на x - б равен нулю:  r = 0. Это значит, что для корня б  многочлена f равенство (3) принимает вид

  f = gЧ(x - б)  (6) 

Поскольку сформулированная (и доказанная!) теорема носит необходимый и достаточный характер (критерий), то признак (5) можно тоже считать определением корня многочлена. Это -  так называемое алгебраическое определение корня многочлена. 

В зависимости от характера поставленной задачи одно из двух определений корня многочлена бывает предпочтительнее другого. Так, например, именно алгебраическое определение корня многочлена позволяет ввести понятие кратности корня.

Определение. Пусть Скаляр б  является корнем комплексного многочлена f. Говорят, что корень б имеет кратность  k или, что он является корнем кратности  k, где  k  -  натуральное число, если  k является наибольшим показателем степени линейного двучлена x - б, делящего многочлен f.

Раскроем это определение более детально. То, что б  -  корень многочлена f, означает, что выполняется делимость (5). В (5) линейный двучлен x - б представлен в первой степени. Но можно спросить себя: а другие степени линейного двучлена  x - б  делят многочлен f?  И если да, то какова наибольшая степень линейного двучлена? Ответ на второй вопрос и приводит к понятию кратности корня. Итак, если k  -  кратность корня    многочлена  f то обязательно

  (x - б)│f  (7)

То, что k  -  наивысший показатель степени означает, что x - б  в большей степени  уже не делит многочлен f(x), т. е.

  (x - б)  не делит f  (8)

Пусть  б  -  корень многочлена f. Найти его кратность помогает  схема Горнера. Действительно, то что  б  -  корень многочлена f устанавливается с помощью схемы Горнера, из которой мы находим частное отделения f на x - б. В таблице (9) §2 это  -  многочлен g с коэффициентами  b, где j = n-1,  n -2, …, 1, 0.  Если кратность корня  б  многочлена f  больше 1, то это значит, что как минимум

  (x - б) │f  (7) 

Т. е., найдется многочлен, обозначим его g  такой, что

  f  =  (x - б)g  (8)

Если в левой части (8) заменить f его выражением из (4), то получим

  gЧ(x - б)  =  (x - б)g  (9)

Разделив обе части (9) на многочлен x - б, мы получим

  g  =  (x - б)g  (10)

Но равенство (10) говорит о том, что  б -  корень многочлена  g ((x - б) делит  g)!), т. е. б - корень частного от деления исходного многочлена  f на (x - б). Проверить же это можно схемой Горнера, причем не составляя новую, а используя прежнюю (см. схему Горнера (9)  §2). Тем самым, мы получим многочлен g . Не выписывая  коэффициенты многочленов  f,  g,  g,  мы изобразим результаты в новой  схеме  -  мультисхеме  -  Горнера так:

  f (первая строка  с  коэффициентами многочлена f)

  б  g ( строка с  коэффициентами многочлена  g)  0  (11)

  б  g( коэффициенты  многочлена  g )  0

Нули в конце второй и третьей строк  -  это остатки отделения на линейный двучлен x - б соответственно многочленов  f и g. Конечно, эту мультисхему Горнера можно продолжить. А именно, добавить четвертую строку, поделив имеющийся многочлен g  на линейный двучлен x - б. В четвертой строке будут выписаны коэффициенты многочлена-частного от указанного деления. Обозначим этот многочлен через g. При этом получится некоторый остаток. Если этот остаток равен 0, то это значит, что  g (х) делится на линейный двучлен x - б:

  g  =  (x - б) g  (12) 

  Если теперь в (8) заменить  g (х) его выражением из (12), то получим

  f  =  (x - б)g  (13)

Равенство (13) указывает на то, что корень  многочлена  f(x)  имеет кратность не менее 3-х, т. е. кратность корня не менее числа нулевых остатков в обобщенной схеме Горнера.

Допустим теперь, что полученный многочлен g уже не делится на на линейный двучлен x - б, т. е. при делении g на x - б получается некоторое частное g и ненулевой остаток r:

  g = (x - б) g  + r  (14)

Если внести в (13) вместо  g(х) его выражение из (14), то получим

  f =( x - б)((x - б)g + r) =  (x - б) g + (x - б)r

  Отсюда видно, что  в правой части не удается выделить сомножитель (x - б), а значит многочлен  f(x), делясь на  (x - б), не делится на бОльшую степень  -  (x - б). Следовательно, в соответствии с определением кратности корня в нашем случае эта кратность равна 3. Если обратиться к мультисхеме Горнера, то легко видеть, что кратность 3 корня б многочлена f в точности совпадает с числом нулей, стоящих в конце каждой строки, начиная со второй, обобщенной схемы Горнера. Отсюда усматривается общее правило нахождения кратности б многочлена f:

  Пусть дан комплексный многочлен f и произвольный скаляр б. Чтобы выяснить, является ли б корнем многочлена f, и, если является, то какова кратность этого корня, мы поступаем следующим образом:

1. с помощью схему Горнера делим f на линейный двучлен x - б. Если полученный при этом остаток r отличен от 0, то б  -  не корень и  ответ получен;

если же r = 0, то б -  корень многочлена f. Для определения кратности корня б начатую схему Горнера достраиваем нижними строками до мультисхемы Горнера (см (11)): последовательно делим на x - б многочлен-частное g, затем  -  g,  g и т. д.. Построение мультисхемы Горнера завершаем по получении первого ненулевого остатка. При этом кратность корня б совпадает с числом нулей, стоящих в конце каждой строки, начиная со второй, мультисхемы Горнера.

§. 4 Основная теорема алгебры. Формулы Виета.

Фундаментальная характеристика поля комплексных чисел как предельно широкого числового поля (см. Введение) выражается следующей теоремой, исторически получившей название основной теоремы алгебры. Доказательство этой теоремы далеко выходит за пределы наших рассмотрений, поэтому мы прнинимаем ее  - формулируем, опираемся на нее  -  без доказательства (доказывается в теории функций комплесного переменного).

Теорема (основная теорема алгебры). Всякий комплексный  многочлен f  степени больше нуля имеет в поле С хотя бы один корень.

Теорема. 1.Неприводимыми над полем С являются только многочлены первой степени;

2. Всякий ненулевой комплексный многочлен f  имеет в поле С ровно deg f корней, считая их кратности.