Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 12 )

  (b, b, …,b, b) = 1  (4)

Построим их произведение

  h =  f g  =  cx+ … +cx+ … + cx +c  (5)

где коэффициенты c находятся по формулам:

  c =  ab, i = 1,...,n; j=1,...,m  (6)

Допустим, что  -  в отличии от f и g  -  произведение h = fg не является примитивным многочленом. Т. е., НОД его коэффициентов

  d = (c , …,c,..., c ,c)  (7)

является составным числом.  Тогда d разлагается в произведение простых чисел. Пусть p  -  простой делитель элемента d:

  p│d  и  p  -  простой  (8)

Выясним отношение «делит» элемента p к коэффициентам многочлена f. Во-первых, в силу (2) p не может делить все коэффициенты a. Следовательно, тестируя коэффициенты многочлена f на признак «делиться на p» в последовательности  возрастания индексов, мы непременно найдем в этой последовательности первый из коэффициентов с наибольшим индексом s, не делящийся на p:

  p│a, …, p│ a,  p  не делит a  (9)

Точно по тем же основаниям среди коэффициентов многочлена g в порядке возрастания индексов мы найдем первый наибольший среди них  -  пусть это будет  t,  -  не делящийся на p:

  p│b, …, p│ b,  p  не делит  b  (10)

  Определив из (9) и (10) индексы s и t, мы рассмотрим и исследуем коэффициент c  произведения h = fg. Воспользуемся формулой (6), выделив в правой части слагаемое  ab:

  c  =  ab +  ab,  где i ≠ s,  j ≠ t  (11)

Протестируем «суперслагаемое»  ab на свойство «делиться на p». Сделаем это анализируя значения индексов i и j  суперслагаемого по отношению к индексам  s и t. Здесь, в силу (11),  возможны два случая:

  1.  i < s    p│a    p│ab    p│ab 

  2.  i > s    j < t    p│b    p│ab

  В обоих случаях p делит суперслагаемое в правой части (11):

  p│ab  (12)

Кроме того, из (7) и (8)  следует, что

  p│c  (13)

Но тогда на основании (12) и (13) из  (11) следует, что

  p│ ab  (14)

А так как p  -  простое число, то из (14) следует, что  p│ a  или  p│b. В первом случае мы вступаем в противоречие с (9), во втором  -  с (10). Теорема доказана.

§12. Рациональные многочлены и их приводимость над полем Q

Оставаясь в контексте числовых многочленов, рациональными мы называем многочлены из  Q[x]. Пусть задан такой многочлен

  f  =  ax + ax + … + ax + a Q[x]  (1)

Если через d  обозначить НОД числителей коэффициентов  a многочлена f, а через  k  -  НОК их знаменателей, то f  можно представить так:

  f = f*  (2)

где  f* Z[x], причем  f*  -  примитивный многочлен (см. §11),  называемый ассоциированным многочлену  f  . Если предположить, что  f  приводим над  Q, то f  разлагается в произведение по крайней мере двух многочленов  f, f Q[x]:

  f =  f f  (3)

причем

  deg f,  deg f <  deg f  (4)

Если у многочленов f, f,  f в левой и правой частях (3) выделить их ассоциированные многочлены, то, по аналогии с (2), получим: