Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 23 )

Теорема. Пусть дана геометрическая задача на построение. Обозначим эту задачу через Р (англ. Problem). В задаче Р требуется построить при помощи циркуля и линейки фигуру F (англ. Figure). Алгебраическим  эквивалентом геометрической задачи Р является алгебраическое уравнение AE (англ. Algebraic Equation), корень которого б  -  числовой эквивалент искомой на построение фигуры  F. В этой терминологии задача на построение Р разрешима (фигура F стоится с помощью циркуля и линейки)  тогда и только тогда, когда корень б  уравнения AE  выражается в квадратных радикалах.

Содержание теоремы хорошо просматривается на следующей схеме:

Проиллюстрируем действие этой теоремы на некоторых классических примерах.

Задача об удвоении куба. Дан куб с ребром  а. Требуется с помощью циркуля и линейки построить куб удвоенного объема (задача P).

Решение. Мы исходим из того, что куб задан (известен, построен), если задано его ребро. Ребро заданного куба принимаем за масштабную единицу измерения, т. е., полагаем  а = 1. Таким образом, в численном выражении объем заданного куба равен 1. Следовательно, объем искомого куба равен 2. Обозначим ребро искомого куба через х. Таким образом, х  -  это отрезок, который надлежит построить. Для простоты считаем, что  х  выражает и длину искомого ребра. Тогда, по условию задачи, число х удовлетворяет уравнению (уравнение AE)

  x = 2  (1)

Уравнение (1)  -  рациональное и не имеет рациональных корней. Согласно последней теореме  §5 это уравнение неразрешимо в квадратных радикаклах, Тогда, на основании вышесформулированной теоремы, задача обудвоении куба неразрешима при помощи циркуля и линейки.

Задача о трисекции угла. Заданный угол требуется разделить на три равные части (построить этого угла)при помощи циркуля и линейки (задача P).

Решение. Предварительно сделаем замечание. Для отдельных углов задача их трисекции имеет решение и даже достаточно очевидное. Например, легко построить прямого угла. Поэтому решить данную задачу, означает построить универсальный алгоритм трисекции любого угла. Если хотя бы для одного угла решения не существует, то задача  -  неразрешима.

Итак, пусть задан угол б. Сделаем обно замечание. С точки зрения геометрических построений угол б  и  cosб  -  взаимозаменяемы: если известен один объект, строится другой и наоборот (см. рисунок).

  cosб

Пусть ц =   -  искомый угол. Воспользуемся теперь сделанным выше замечанием и вместо углов будем оперировать их косинусами. Известные тригонометрические формулы кратных аргументов  дают:

  cosб = cos3ц = 4cosц – 3cosц  (2)

Положим теперь cosб = (известная величина)  и  cosц = (искомая, неизвестная величина).  В этих обозначениях равкенство (2) примет вид:

  4х – 3х – b = 0  (3)

Итак, искомая величина х является корнем уравнения (3) (уравнение AE). Конкретизируем теперь исходную задачу, а именно, возмем угол б = . Тогда cos = , откуда, с учетом принятых обозначений, b = 1 и уравнение (3) принимает вид:

  4х – 3х – 1 = 0  (4)

Итак, мы решаем геометрическую задачу о трисекции угла  и нам надлежит построить угол, косинус  х  котрого является корнем уравнения (4) (уравнение AE). Как и в предыдущей задаче об удвоении куба уравнение (4)  -  рациональное и не имеет рациональных корней. Таким образом, задача о трисекции угла неразрешима, а значит эта задача неразрешима и в общем случае.

Литература (основная)

1.  Курс высшей алгебры. 18 изд. Стереотип. – СПб.: Издательство «Лань», 2011 (2004,1968, 1971, 1975).рекомендовано

2. Курс алгебры.- М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. – 544 с.

       

Литература (дополнительная)

1.  Алгебра и теория чисел. Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей, пед. Институтов.- М.; Просвещение, 1993.