f = g h (10)
По условию приводимости (состАвности) f сомножители g и h необратимы и неассоциированы с f:
f, g 
С * 
f∙ С * (11)
Соотношение (11) указывает на то, что
deg g > 0, deg h > 0 (12)
Теперь наши рассуждения, включающие формулы (10), (12), могут быть приняты в уачестве версии определения приводимости комплексных многочленов
Определение. Комплексный многочлен f степени больше 0 называют приводимым над полем С, если его можно разложить в произведение двух многочленов (равенство (10)), у каждого из которых степень больше 0 (равенство (12)).
Неприводимые многочлены характеризуются отрицанием данного предложения. Поскольку число 1 
N никак не распадается в сумму двух натуральных чисел, то из (13) и (15) усматривается ((15) исключает равенство: deg f = 1 = deg g + deg h).
Вывод: Любой комплексный многочлен первой степени неприводим на полем С.
§2. Деление многочлена на линейный двучлен. Схема Горнера
Все дальнейшие рассмотрения проводятся в кольце С [х].
Среди многочленов первой степени выделяются многочлены со старшим коэффициентом 1 и свободный член которых записывается со знаком « - »: x-б. Такие и так записанные многочлены называются линейными двучленами. Определим и рассмотрим деление многочлена на линейный двучлен.
Определение. Пусть дан многочлен f и линейный двучлен x-б. Говорят, что выполнено деление многочлена f(x) на линейный двучлен x-б, если удалось найти (построить) новый многочлен g и скаляр r такие, что многочлен f оказался представленным в виде:
f = gЧ(x-б) + r (1)
Если это удалось сделать, то найденные g и r называются - соответственно - частным и остатком от деления многочлена f на линейный двучлен x-б. В случае, когда остаток r = 0, говорят что многочлен f делится (без остатка) на линейный двучлен x-б или, что линейный двучлен x-б делит многочлен f. Записывают это, соответственно, так:
f ч (x-б) или (x-б)│ f (2)
Покажем, что в кольце С[x] любой многочлен всегда можно разделить на линейный двучлен. Итак, пусть даны комплексный многочлен f и линейный двучлен x-б. Здесь необходимо отдельно рассмотреть два случая: 1. deg f =0 или сам многочлен f =0; 2. deg f(x) ≥1. Рассмотрим их по отдельности.
1. В этом случае многочлен f представляет собой просто скаляр: f = а 
С. Мы можем составить очевидное равенство:
f = 0(x - б) + а.
Мы нашли частное g = 0 и остаток r = а. Таким образом, искомое равенство (1) составлено, а значит в этом случае требуемое действие выполнено.
2. Пусть многочлен f задан. Это значит, что нам известны все его коэффициенты. Запишем его в виде (1) §1:
f = a
x
+ a
x
+ ….. + a
x + a
(3)
В этой записи deg f = n ≥1. Обратимся теперь к равенству (1), точнее к его правой части. Ясно, что deg (x - б) =1. А поскольку скаляр r на степень произведения g
( x - б) не влияет, то deg f = deg g + deg (x - б), т. е. n = deg g +1, или
deg g = n-1 (4)
Итак, при делении многочлена n-й степени (n ≥1) на линейный двучлен (x-б) - если такое деление возможно - частное является многочленом, степень которого на 1 меньше степени заданного многочлена.
Исходя из (3) запишем искомое частное g в виде:
g = b
x
+b
x
+ … +b
x+b
(5)
Здесь нужно иметь в виду, что многочлен g(x) является искомым, поэтому и его коэффициенты тоже являются искомыми, т. е пока неизвестными. Внесем теперь в (1) развернутые выражения многочленов f и g из (3) и (5). Получим:
a
x
+ a
x
+ ….. + a
x + a
=
(b
x
+b
x
+ … +b
x+b
)(x-
) + r (6)
Если теперь в правой части (6) произвести все указанные там действия, привести подобные члены и приравнять полученные коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х в правой и левой частях равенства (6). то последовательно по убыванию степеней неизвестной х получим n+1 равенств:
a
= b
a
= b
- бb
. . . . .
a
= b
- бb
. . . . . (7)
a
= b
- бb
a
= r - бb
Из первого равенства (7) мы находим b
. Подставив найденный коэффициент b
во второе равенство (7) мы найдем следующий коэффициент b
и т. д. «Спускаясь » по равенствам (7) сверху вниз мы последовательно найдем все коэффициенты многочлена-частного g и и остаток r. иными словами, мы разделили многочлен f(x) на линейный двучлен x-б.
Равенства (7) являются алгоритмом деления многочлена на линейный двучлен. Этот алгоритм можно представить в виде изящной схемы, построенной английским математиком Горнером, и носящей его имя (Горнер Вильямс Джордж (1786 – 1837) - английский математик, работавший в области алгебры. Его именем названа схема деления многочлена на линейный двучлен). Суть схемы Горнера достаточно легко усматривается из равенств (7), если их переписать так, чтобы в левых частях стояли искомые величины - коэффициенты многочлена-частного g и остаток r:
b
= a
b
= а
+бb
. . . . .
b
= а
+б b
(8)
. . . . .
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 |
