Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 11 )

Пусть дано алгебраическое уравнение 4-й степени с комплексными коэффициентами. Надлежит выяснить разрешимость такого уравнения в радикалах. Для решения этой задачи мы считаем это уравнение неполным и нормированным (см. вывод в конце §6):

  x + px + qx + r  = 0,  p, q, r  C  (1)

Внесем в левую часть (1) параметр б C и выполним тождественные преобразования

  (x + + б) - {2бx - qx + ( + pб + () - r)} = 0  (2)

Поскольку левая часть (2) тождественна левой части (1) при любом значении б, мы выберем  б так, чтобы обратить квадратный относительно  х  трехчлен в фигурных скобках левой части (2) в квадрат линейного двучлена. Для этого необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного относительно  х  трехчлена в фигурных скобках обращался в 0 (квадратный трехчлен имеет равные  -  кратные  -  корни):

  q - 42б ( + pб + () - r)  =  0  (3)

Преобразовав левую часть (3) относительно б, мы получим  -  относительно б  -  кубическое уравнение общего вида:

  Aб +  Bб +  Cб  + D  =  0  (4)

где  A, B, C, D  выражены через коэффициенты  p, q, r  исходного уравнения (1) посредством четырех арифметических операций, а значит  -  формально  -  выражены через них в радикалах. Применив к (4) необходимые разрешающие процедуры (пронормировать, привести к неполному виду, применить формулы Кардано, возвратиться к исходному уравнению (4)  -  см. §7), мы найдем три корня  уравнения (4) (значит (3))  -  искомые значения б,  -  выражаемые в радикалах через A, B, C, D, а следовательно и через p, q, r. Пусть  б  -  один из корней уравнения (3). Внеся  б в (2) и перенося в левую часть вновь образованное выражение в фигурных скобках (квадрат линейного двучлена), получим:

  (x + + б) =  2 б(х - )  (5)

Уравнение (5) эквивалентно совокупности двух квадратных относительно  х  уравнений (получаются извлечением квадратного корня из обеих частей (5)):

  x + + б  =  ±  (х - )  (6)

Решив оба квадратных уравнения (6), мы найдем все четыре корня (по два корня каждого квадратного уравнения) уравнения (5), являющиеся корнями и исходного уравнения (1).

Формулы, выражающие корни уравнения (1) через его коэффициенты, будут очень сложными и громоздкими и экспликация их в явном виде нецелесообразна. Поэтому всякий раз, решая неполное уравнение ;-й степени, описанный выше алгоритм решения просто полностью повторяют. Этот алгоритм называют методом Феррари (Феррари Людовико (1522 – 1565) – итальянский математик, ученик Кардано. Публикации своего труда не дождался).

Несмотря на то, что метод Феррари не представлен явными формулами, характер этих формул, тем не менее, описывается однозначно. Так как  б в уравнениях (6) выражается в радикалах через p, q, r, то из (6) усматривается, что корни этих уравнений,  -  а это  -  корни исходного уравнения (1),  -  выражаются в радикалах через p, q, r.  Отсюда

Вывод. Всякое алгебраическое уравнение 4-й степени с комплексными коэффициентами разрешимо в радикалах.

О разрешимости в радикалах алгебраических уравнений выше 4-й степени. Итак, мы констатируем разрешимость в радикалах всех алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами 1-й, 2-й, 3-й  и  4-й степеней. При этом следует отметить, что  повышение степени уравнения на 1 резко усложняет способ решения. Оказывается, что ни для какого алгебраического уравнений любой степени больше 4-х не существует единообразного способа решения, как это было для уравнений 1-й, 2-й, 3-й  и  4-й степеней. Причем следует обратить внимание на то, что такого способа именно не существует. Это неравнозначно тому, что такого способа не удалось найти. Отсутствие единого способа решения для алгебраических уравнений данной степени (больше 4-х) означает неразрешимость в радикалах таких уравнений. Сказанное, конечно, не означает, что никакое такое уравнение неразрешимо в радикалах. Очевидный пример:  уравнение  x - 1 = 0  разрешимо в радикалах при любом  натуральном n. Одним из первых неразрешимость в радикалах алгебраических уравнений выше 4-й степени обосновал норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802-1829). Французский математик Эварист Галуа (25.11.1811 - 1832) создал специальную теорию, основанную на теории групп, представляющую собой аппарат, позволяющий каждое алгебраическое уравнение степени больше 4-х протестировать на разрешимость его в радикалах.

§11. Примитивные многочлены

Рассмотрим теперь целочисленные многочлены, т. е., многочлены с целыми коэффициентами или  -  что то же самое  -  рассмотрим кольцо Z[x]. Возьмем  f Z[x]  и запишем его в каноническом виде:

  f = ax + ax + ….. + ax + a  (1)

Определение. Многочлен f называют примитивным, если все его коэффициенты в совокупности взаимно просты:

  (a, a, ….., a, a) = 1  (2)

Лемма Гаусса. Произведение примитивных многочленов вновь является примитивным многочленом.

( (1777 – 1855)  -  немецкий математик, физик, астроном, геодезист. Доказал т. н. основную теорему алгебры  -  дал не менее шести различных доказательств. Трудно назвать отрасль математики, в которую Гаусс не внес бы существенного вклада).

Доказательство. Доказываем методом от противного. Пусть наряду с многочленом f дан еще один примитивный многочлен g Z[x] 

g  =  bx+bx+…+bx+b  (3)