Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 3 )

  b  =  а +бb

  r  = а  +бb

  Полученные формулы (8) удобно представить в виде таблицы следующим образом. В качестве первой строки выпишем коэффициенты заданного многочлена f. Во второй строке, отступив влево на один шаг, запишем число б, задающее линейный двучлен x-б (обратить внимание на знак б). Затем в этой же второй строке под коэффициентами многочлена f выписываем левые части равенств (8)  -  это коэффициенты искомого многочлена-частного g и остатка r. В результате получится следующая таблица:

  a  а  …  а  …  а  а

  б  b=a b=а+  ...  b=а +  …  b= а +  r= а +  (9)

  бb  б b  бb  бb 

Полученная таблица и называется схемой Горнера. Пользоваться схемой Горнера очень просто и удобно. Итак, нам нужно разделить заданный многочлен f на линейный двучлен x-б. Мы выполняем последовательно следующие шаги:

1. Выписываем в строку коэффициенты многочлена f;

2. Во второй строке, отступив влево на один шаг, записываем число б;

Далее вторую строку заполняем так:

2.1. под коэффициентом a записываем его же вновь  -  это коэффициент b (см. схему Горнера);

2.2. каждый следующий коэффициент искомого многочлена-частного g равен стоящему над ним коэффициенту многочлена f, сложенному с произведением числа б на найденный перед этим коэффициент  этого (т. е. g) многочлена;

под свободным членом  а выписывается остаток r = а  +бb (а  и  б  заданы, а  b мы нашли на предыдущем шаге). вторая строка схемы Горнера задает нам многочлен-частное g (его коэффициенты) и остаток r.

Теперь  мы можем явно записать равенство (1), т. е мы выполнили деление многочлена f на линейный двучлен x-б.

Несложно докаазывается, что деление многочлена на линейный двучлен осуществляется единственным образом! Иными словами, в равенестве (1) частное g и остаток r находятся единственным образом. Действительно, допустим, что мы разделили многочлен f на линейный двучлен x-б еще одним способом, т. е., наряду с равенством (1) получено равенство

  (x-б) +   (10)

Равенство левых частей формул (1) и (10) обеспечивает равенство их правых частей:

  gЧ(x-б) + r =  (x-б) +   (11)

или, что то же самое,

  (g - )Ч(x-б) =    (12)

Относительно разности многочленов g - зможны два исхода: 1). g – = 0; 2).  g - . Во втором случае, учитывая, что deg(x-б) = 1, степень многочлена в левой части (12)  в то время как в правой части (12) стоит скаляр либо равный нулю, либо, как многочлен, имеющий нулевую степень. Мы пришли к противоречию: при этих условиях равенство (12) невозможно. Реализуется, следовательно, только первый случай g – = 0, т. е., g = . Вслед за этим из правой части (12) немедленно следует = 0 или  , что доказывает наше утверждение.

§3. Корни многочлена. Функциональная и алгебраическая трактовки. Кратные корни.

Пусть комплексный многочлен f задан в канонической записи (см. (1) §1):

  f = ax + ax + ….. + ax + a  (1)

Определение. Скаляр  б С называют корнем многочлена f, если

  f(б)  =  0.  (2)

Это  -  так называемое функциональное определение корня многочлена. Но  к понятию корня многочлена можно подойти по другому, опираясь на операцию деления многочлена на линейный двучлен. Пусть заданный многочлен f мы разделили на линейный двучлен x - б и, следовательно, получили равенство (1) §2:

  f = gЧ(x-б) + r  (3)

Здесь cкаляр б является произвольным и необязательно  -  корень многочлена f. Положим теперь в равенстве (3)  х =  б. Так как в правой части (1) б - б = 0, то независимо от значения  g(б) окончательно получим:

  f(б) =  r  (4)

Будучи прочитанным, равенство (4) представляет собой следующее (доказанное нами!) утверждение, называемое теоремой Безу (Безу Этьен  (1730  -  1783)  -  французский математик. Работал в области алгебры. Написал учебник по математике, шеститомный «Курс математики». Его именем названа теорема об остатке от деления многочлена на линейный двучлен):

Теорема (Безу). Значение многочлена f(x) при х = б  равно остатку от деления этого многочлена на линейный двучлен (х – б).

Если мы соединим теперь определение корня многочлена (равенство (2)) с теоремой Безу (равенство (4)), то придем к следующему выводу, представляющему собой (уже доказанную нами) теорему: