Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. КОЗЬМЫ МИНИНА»

ЧИСЛОВЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

Учебно-методическое пособие

Нижний Новгород

2013

Печатается по решению редакционно-издательского совета НГПУ им. Козьмы Минина

Числовые многочлены: Учебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по направлению 050100 «Педагогическое образование», профиль «Математика».

Введение

Предметом нашего рассмотрения в этом разделе являются многочлены и алгебраические уравнения от одной неизвестной с числовыми коэффициентами, а также их приложения к теории геометрических построений.  Значительная часть содержания раздела профессионально ориентирована, имеет прямое отношение к школьному курсу математики. Более того, при надлежащей методической обработке содержание этого раздела может быть положено в основу элективного курса для старшеклассников, стать основой дополнительных занятий с математически одаренными учениками.

Стандартные обозначения и стандартные соотношения между числовыми полями, кольцами, системами: С, R, Q, Z, N, N, C, R, Q, R, Q,  Z < Q < R < C (здесь символ « < » означает «быть подкольцом»).

В контексте наших рассуждений поле комплексных чисел С выступает предельно широкой числовой конструкцией в том смысле, что понятия «числовое поле», «числовое кольцо» выступают для нас синонимами понятий «подполе поля С», «подкольцо поля С».

Глава I. Многочлены и алгебраические уравнения над числовыми кольцами и полями

§1.  Кольцо многочленов от одной неизвестной над полем комплексных чисел. Основные понятия

Определение. Многочленом над полем С (многочленом с комплексными коэффициентами или  -  комплексным многочленом) от неизвестной х  мы называем функцию вида

  f(x) = ax + ax + ….. + ax + a  (1)

где

  a, a  .  .  .  ,  a, a С  (2)

называются коэффициентами многочлена f(x).

Представление многочлена f(x) в виде (1) называют его канонической записью. Множество всех многочленов с комплексными коэффициентами от неизвестной х обознаяаем через С[x]. Комплексные числа  -  элементы из С  -  являются многочленами по определению. Их мы будем называть скалярами. Обозначение f(x) комплексного многочлена часто редуцируется до f. Записи (1), (2) могут дублироваться одной

  f(x)  С[x]  (3 )

У нулевого многочлена f = 0 все коэффициенты  -  нули. Если f 0, то среди коэффициентов (2) хотя бы один отличен от 0. В этом случае ненулевой коэффициент с максимальным значением нижнего индекса n  обозначается через a и называется старшим коэффициентом многочлена f, а сам индекс n называют степенью многочлена f и обозначают deg f (англ. degree  -  степень). Коэффициент a называется свободным членом многочлена f.

Замечание. Степень определяется только для ненулевого многочлена. У ненулевого многочлена свободный член, в отличии от его старшего коэффициента, может быть любым комплексным числом  -  нулевым или нет.

В кольце С[x] сложение многочленов происходит по достаточно очевидному предписанию: два многочлена складываются как линейные комбинации степеней неизвестной с последующим приведением подобных членов. Нетрудно заметить следующее правило степени суммы многочленов. Пусть складываются два ненулевых многочлена f и g. Тогда, если f+g 0, то

  deg (f+g) max {deg f, deg g}  (4)

Т. е., степень ненулевой суммы ненулевых многочленов не превосходит максимальной из степеней слагаемых.

В более значительной степени формализуется правило умножения многочленов и формула степени их произведения. Пусть даны два многочлена f, g С[x]. Если один из них равен 0, то и произведение fg равно 0. Рассмотрим, поэтому случай, когда оба многочлена не равны 0. Пусть f задан полной своей записью (1) а g  -  записью

  g  =  bx+bx+…+bx+b  (5)

Перемножая f g и приводя подобные, мы убедимся в справедливости следующей формулы:

  f g  =  abx+ … +cx+ … + ab  (6)

В формуле (6) старший коэффициент и свободный член произведения многочленов f  и  g выписаны явно, а остальные коэффициенты снаходятся по формуле:

  c =  ab,  где  i+j n+ m, 0  (7)

Поскольку старшие коэффициенты a, b и свободные члены a, b многочленов  f и g в формуле (6) выписаны явно, то они отсутствуют в формулах (7), что и указано в ограничениях на индексы в этих формулах. Если всмотреться и вдуматься в формулы (7), то можно увидеть, что коэффициент с есть результат приведения подобных слагаемых со степенью x.

Первое и последнее слагаемые в формуле (6) указывают на справедливость двух  правил:

Правило 1. Старший коэффициент и свободный член произведения двух ненулевых многочленов равны соответственно произведению старших коэффициентов и свободных членов перемножаемых многочленов (сомножителей).

Правило 2. Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей (проще  -  при перемножении двух ненулевых многочленов их степени складываются):

  deg (f g) = deg f + deg g  (8)

Замечание. Правило 2., равно как и дублирующая его формула (8), исполнены при молчаливом предположении, что произведение ненулевых многочленов всегда отлично от нуля.

Без доказательства отметим, что справедлива

Теорема. Кольцо С[x]  -  факториально.

Приведем несколько утверждений  о кольце С[x], представляющих собой версию  -  уточнение, перефразировку  -  некоторых положений из теории колец. Во-первых, достаточно очевидно, что

  G С[x] = GС = С \ {0} = С*  (9)

  Далее, пусть многочлен f С[x] является простым элементом кольца С[x]. Это  -  как минимум  -  означает, в соответствии с (9), что f С  (не  0 и необратим или, что то же самое, deg f > 0). Специфика кольца С[x] специфицирует и понятия простоты - состАвности его элементов: в кольце  С[x] простые многочлены чаще называют неприводимыми, а составные - приводимыми над полем С многочленами. Чтобы раскрыть суть спецификации «простота – состАвность» («приводимость – неприводимость»), оттолкнемся от состАвности (приводимости). Итак, пусть многочлен  f С[x] приводим над полем С. Это означает, что у него в кольце С[x] имеются собственные делители. Пусть g  -  один из них: