Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 13 )

  f* =  (f*) (f*)  (5)

Из (5), учитывая примитивность многочленов f*, f*, f*, получаем равненство целочисленных многочленов:

  f* =  (f*)(f*)  (6)

Итогом наших коротких рассуждений является лингвистическая версия равенств (2), (3), (6):

Вывод 1. У рационального многочлена и его целочисленного ассоциированного многочлена  -  одни и те же (в общем случае  -  комплексные) корни (см. (2)). Следовательно, решая задачу нахождения корней рационального многочлена, можно заменить ее задачей отыскания корней некоторого целочисленного (например, ассоциированного для исходного) многочлена.

Именно поэтому в дальнейшем мы, если не оговорено иное, будем рассматривать целочисленные многочлены.

Вывод 2. Рациональный многочлен  f  приводим над полем Q  (см. (3))  в том и только в том случае, когда над кольцом  Z  приводим его ассоциированный многочлен (см. (6)).

Ситуацию с приводимостью целочисленных многочленов над  Z  проясняет следующее утверждение.

Терема (критерий Эйзенштейна). Пусть задан целочисленный многочлен

  f  =  ax + ax + … + ax + a Z[x]  (7)

и пусть его коэффициенты подчиняются требованиям (обладают свойствами): существует такое простое число  p, что 

1. старший коэффициент  a  не делится на  p;

  2. остальные коэффициенты  a, … a, a делятся на p 

3. свободный член a  -  делясь на p  -  не делится на p

При этих условиях целочисленный многочлен  f  неприводим над кольцом Z.

Примечание. Эйзенштейн Фердинанд (1823-1852)  -  немецкий математик. Сформулированную теорему исторически принято называть критерием, хотя логически она является признаком (достаточным условием).

Доказательство (от противного). Допустим, что  f  приводим над  Z, и, следовательно, разлагается в произведение двух целочисленных многочленов  g  и  h  меньшей чем deg f  степени:

  f = gh,  deg g, deg h < deg f  (8)

Запишем  g  и  h  в каноническом виде:

  g = bx + bx +  … + bx + b, 

  h = cx + cx +  … + cx + c  (9)

Согласно правилу перемножения многочленов, из (7), (9) (сопоставляя коэффициенты) следует, что:

  a = bc,  a = bc,  a = bc,  i ≠ n, 0  (10)

Обратимся теперь к простому p N, фигурирующему в условии теоремы, и протестируем коэффициенты многочленов  g  и  h  на свойство «делиться на простое число p». Во-первых, согласно третьему условию теоремы  и на основании второго равенства (10), заключаем, что p делит точно одно из чисел  b  или  c. Пусть, для определенности,

  p| b  и  p не делит  c  (11)

Исследуем теперь последнее равенство (10), придавая индексу i последовательно значения от 1  до  m (степень многочлена g). При i = 1  конкретное равенство  a  = bc + bc, на основании второго условия теоремы и (11), имплицирует отношение  p| b. Аналогично для i = 2 и с учетом полученного  p| b  приходим к соотношению  p| b, и т. д. из равенства, задаваемого значением  i = m, по тем же основаниям получим, что  p| b, на основании чего первое равенство (10) «обязывает»  a делиться на  p, что противоречит первому условию теоремы и тем доказывает ее.

Доказанная теорема позволяет построить неприводимый над Z целочисленный многочлен любой степени. Действительно, при любом n    N выберем произвольное простое число  p  и построим многочлен

  f  =  x + p(x + … + x + 1)  (13)

Коэффициенты многочлена  f  полностью удовлетворяют требованиям  доказанной теоремы, а поэтому  f  -  неприводим над  Z. В свою очередь, Вывод 2  (см. выше)  и сконструированный неприводимый над  Z многочлен позволяют утверждать, что неприводимыми над Q могут быть многочлены любой степени.

Резюме. Сопоставительный анализ состояний приводимости многочленов над C,  R  и  Q выводит на следующее умозаключение, представляющее любопытный тренд: движение по нисходящей цепочке числовых полей  C R   Q повышает степень неприводимых над ними многочленов.

§13. Рациональные корни целочисленных многочленов и их отыскание

Целочисленными называют многочлены с целыми коэффициентами:

  f = ax + ax + ….. + ax + a  (1)