Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 9 )

Пусть теперь дано неполное кубическое уравнение (1) §7:

  x + px + q  =  0,  p, q  C  (10)

и б  -  его корни, записанные формулами Кардано (11) §7:

  б =  u + v =    +    (11)

Это означает, что значения кубических радикалов  u и v  в формулах (11) удовлетворяют равенству (12) §7:

  uv = -   (12)

Пусть  u  -  одно из трех значений кубического радикала, стоящего в правой части (11) (первое слагаемое). Тогда, согласно формулам (5), для случая n=3, задаваемого формулами (8), мы можем выписать все три значения этого кубического радикала:

  u, uе, uе  (13)

Аналогично, если  v  -  соответствующее для  u  значение другого радикала в правой части (11) (второе слагаемое), то по тем же основаниям выписываются все три его значения:

  v, vе, vе  (14)

Помним, что каждое значение из (13) согласовано точно с одним значением (14). Инструмент согласования  -  равенство (12). Отсюда усматриваются следующие три пары согласованных значений (с учетом уже имеющейся согласованности u и v): u, v; uе, vе и  uе, vе. Суммы значений каждой пары и есть три корня  неполного кубического уравнения (10). выпишем эти корни в следующих обозначениях:

б =  u + v,  б =  uе + vе,  б = uе +  vе  (15)

Формулы (15) и есть искомая тригонометрическая форма  корней неполного кубического уравнения.  Для получения формул (15) необходимо: 1. найти согласованную (удовлетворяющую равенству (12)) пару значений  u  и  v  кубических радикалов, стоящих в правой части (11); 2. записать корни (15), где е  и  е  берутся из (7).

Исследовать корни неполного кубического уравнения значит выяснить условия наличия среди них кратных (совпадающих) корней. Исследование корней незамедлительно становится прозрачным, если хотя бы один из коэффициентов уравнения (10) «зануляется»: pq = 0. Поэтому рассматривается т. н. «общий»  случай: 

  pq  ≠  0  (16)

Обратимся к формулам Кардано (11) корней уравнения (10).

Определение. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня в правой части формул Кардано

  D  =  () + ()  (17)

называется дискриминантом неполного кубического уравнения. 

Теорема. Неполное кубическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю:

  D =  () + () =  0  (18)

Доказательство. 1. Пусть уравнение (10) имеет кратные (совпадающие) корни и, для определенности (см. (15)):

  б  =  б  (19)

Необходимо доказать (18). Заменив в (19) б  и  б  их выражениями в тригонометрической форме из (15), после естественных преобразований получим:  u(1-е) = v(е-1). Сокращение  обеих  частей полученного равенства на (1-е) дает:  u = -(1+е)v. Теперь на основании второго равенства (9) заменим, в полученном нами равенстве, -(1+е) на е. Окончательно получим равенство:  u = еv. Возведение обеих частей этого равенства в 3-ю степень дает (помним (8)):

  u  = v  (20)

Но (20) указывает на кратность корней квадратного уравнения (8) §8, дискриминант которого (см. (8), (9) §8) и есть дискриминант D (см. (17)) нашего неполного кубического уравнения. Следовательно, D = 0 и  (18) доказано.

2. Обратно, пусть выполняется (18). Обратимся к значениям радикалов (10) §8. В силу (18) первый радикал  (10) §8 примет вид, который мы сразу подвергнем достаточно очевидным преобразованиям

  u  =    =    =    =    (21) 

Из (21) следует, что одним из значений  радикала  u  будет значение  . Cогласованное c ним значение  v  находится из (12):  v =  (- ):( ) . Найдем  v, осуществляя необходимые преобразования и вновь опираясь на (18):

  v =  (- ):( ) = - () = - () = () =  = u  (22)

Итак, при нулевом дискриминанте неполного кубического уравнения (выполняется (18))  в качестве одной пары согласованных значений кубических радикалов  u  и  v  можно выбрать равные значения  u = v, причем

  u =  v =    (23)

На основании (23) находим корни неполного кубического уравнения в тригонометрической форме (15) (помним, что  е + е = -1: см. (9)):

  б =  ,  б =  б -    (24)

Формулы (24) указывают на наличие кратного корня неполного кубического уравнения: это  -  корень б.  Теорема доказана.

Более детальное прочтение формул (24) доказанной теоремы указывает на то, что нулевой дискриминант неполного кубического уравнения (при условии (16))  не только обеспечивает кратность одного из его корней, но позволяет явно записать все корни через коэффициенты уравнения.

§9. Исследование корней действительного неполного кубического уравнения