Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 8 )

Итак, если решим систему уравнений (6) относительно неизвестных u  и  v, то будет  решено и исходное уравнение (1). Для этого обе части второго уравнения (6) возведем в куб. система (6) преобразуется в систему уравнений:

  u +v = - q  (7) 

  uv = - ()

Чем различаются системы уравнении (6) и (7)? Ясно, что всякое решение системы (6) является таковым и для системы (7). Система же (7) может иметь больше решений, чем система (6): переход от системы (7) к (6) требует извлечения корня кубического из обеих частей второго уравнения (7), а значений такого корня может быть три и лишь одно из них  -  это значение для второго уравнения системы (6). Иными словами, система уравнений (7) имеет излишние по отношению к системе (6) решения. Отсюда

Предписание: решая систему уравнений (6) (а значит и исходное неполное кубическое уравнение (1)), заменяем ее системой (7). Решив систему (7), из ее решений оставляем только те, которые являются и решениями системы  (6). Т. е., найденные числа  u и v, образующие решение системы (7), должны удовлетворять второму уравнению (6) (первые уравнения в (6) и (7) одинаковы).

Здесь вполне уместен вопрос: насколько мы продвинулись в решении системы уравнений (6)? Ведь формально система уравнений (7) сложнее системы (6)! При ответе на этот вопрос решающими являются два обстоятельства: 1. в поиске чисел  u и v  иногда удобнее искать их степени, в данном случае  -  их кубы; 2. (главное!)  система уравнений (7) задает сумму и произведение кубов искомых чисел, а значит по обратной теореме Виета для квадратных уравнений они  -  u и v  -  являются корнями нормированного квадратного уравнения:

  + qz  - () = 0  (8)

Решая (8) находим  u и v:

  u, v  =    = -       (9)

Отсюда

  u = ,  v =    (10)

Итак, найдены значения  u и v, формирующие решения системы уравнений (7). Учитывая, что каждый из радикалов (10) имеет три значения, система (7) обладает девятью решениями. Из этих девяти решений системы (7) только три  будут решениями системы (6)  -  это те решения, составленные из значений (10), для которых  u и v, согласно предписанию,  удовлетворяют второму уравнению (6).

Окончательно, мы нашли и выразили формулами все три корня исходного неполного кубического уравнения (1):

  б =  u + v =    +    (11)

где значения  u  и  v  радикалов в правой части (11) удовлетворяют второму уравнению (6):

  uv = -   (12)

Формулы (11) корней неполного кубического уравнения (1) (конечно, при условии (12)) называются формулами Кардано (по имени итальянского математика Джироламо (или  -  Иеронимус) Кардано (24. 09. 1501 – 1576 г. г. Врач, механик. Его имя носит карданный вал, который он сконструировал, хотя и не был здесь первопроходцем.)

Заключение. Поставленная в начале параграфа задача решена! Формулы Кардано (11) безапелляционно указывают на разрешимость в радикалах неполного  -  а значит произвольного  -  кубического уравнения с комплексными коэффициентами.

§8. Тригонометрическая форма и исследование корней неполного кубического уравнения

Вначале актуализируем необходимые для нас сведения о корнях в поле С.

Тригонометрическая форма корней n-й степени из 1. Радикал имеет в поле С  ровно n значений, которые можно записать в тригонометрической форме:

  = cos + i sin ,  k = 0,…,n-1  (1)

Корни (1) образуют т. н. мультипликативную группу корней n-й степени из 1  -  группу  G(n,1). Cреди корней (1)  n-й степени из 1 выделяются так называемые первообразные корни  -  натуральные степени от 0  до  n-1 каждого из которых исчерпывают все множество этих корней. Если   -  первообразный корень, то

  {=1, , , …, } = G(n,1)  (2)

Основываясь на формуле умножения (возведения в степень) комплексных чисел в тригонометрической форме, из (1) следует, что корень

  = cos + i sin  (3)

является первообразным. Вообще

  (корень  =   -  первообразный)    ((k, n) = 1)  (4)

Если извлекается корень  n–й  степени из комплексного числа a  и  б =   -  одно из значений этого корня, то все значения б корня получаются по формуле:

  б =  бе,  k = 0,…,n-1  (5)

Понятно, что в правой части (5) вместо е можно поставить степени выбранного первообразного корня n-й степени из 1.

Если сказанное редуцировать к случаю n = 3,  -  а именно при этом значении n алгебраическое уравнение является кубическим,  -  то три значения кубического корня из 1 можно выписать явно:

  :  1;  cos ± i sin  =  ± i   (6)

При этом каждый из двух комплексных (не 1) корней (6) является первообразным, а второй  -  его квадратом. Так что если обозначить через е  -  любой из комплексных корней (6)

  е  =  ± i   ,  (7)

то все три значения кубического корня из 1  могут быть записаны так:

  :  1;  е;  е  (8)

При этом из (7) следует, что при любом выборе знака для е (выбирается одно из двух значений е)  всегда

  е = ,  1 + е + е =  0  (9)