Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 18 )

Из (5) получаем:

  p(б) =  q(б) g(б)  + r(б)  (6)

Поскольку  б  -  корень для  p  и  q,  из (6) вытекает r(б) = 0. Поэтому, если в (5)  r ≠ 0, то  deg r < deg q и мы вступаем в противоречие с выбором  q. В (5), следоватеельно, реализуется единственная возможность  r = 0, что предопределяет соотношение

  q | p  (7)

Делимости (4) и (7) обеспечивают ассоциированность многочленов  p и q,  значит q так же является образующим многочленом идеала  I, т. е  -  минимальным многочленом алгебраического числа б. Итак,

Вывод. Если число  б C  алгебраично над полем F, то его минимальный многочлен  -  это ненулевой многочлен из F[x] наименьшей степени, имеющий  б  своим корнем.

Теорема. Минимальный многочлен алгебраического над чиловым полем  F числа  б C  неприводим над полем F.

Доказательство (легко!) -  методом от противного на основании Вывода.

Определение. Степень deg p минимального многочлена p алгебраического на полем F числа б называется степенью самого числа б и обозначается  deg б (=deg p).

§3. Простое алгебраическое расширение поля, его строение. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Конечномерность простого алгебраического расширения

Определение. Если  б C  алгебраично над числовым полем F, то расширение  F(б)  называют простым алгебраическим расширением.

Алгебраичность  б  над  F позволяет специфицировать характеристическое свойство элементов (способ задания, предъявления) простого расширения F(б). Более того, мы дадим три уровня искомой спецификации. Итак, пусть б C  алгебраично над числовым полем F пусть  p  -  минимальный многочлен числа б. Начнем последовательно уточнять  -  специфицировать  -  строение  F(б) (см. (7) §1:

  F(б) = { │ f, g  F[x]}  (1)

Возьмем произвольный элемент поля  F(б):

  F(б)  (2)

Так как g(б) ≠ 0 (стоит в знаменателе), то многочлен  g I  (см. (2) §2) и поэтому образующая идеала I не делит многочлен g:

  p  не делит  g  (3)

Соотношение (3) и неприводимость p над полем F (p  -  прост  в кольце F[x])  имплицируют взаимную простоту  p и  g:

  (p, g) = 1  (4)

Применив к (4) критерий взаимной простоты элементов p и  g  кольца F[x[, получим:

  u, v F[x],  u g + v p  = 1  (5)

При  х = б  равенство (5) дает (б  -  корень для p!):

  u(б) g(б)  =  1  (6)

Равенство (2) позволяет преобразовать произвольный элемент кольца F(б) (см. (2)) следующим очевидным образом:

    (7)

Обозначив через h  произведение многочленов: h = fu, перепишем (7) в виде:

  =  h(б)  (8)

Итак, «дробный» вид произвольного элемента простого алгебраического расширения  F(б)  нам удалось преобразовать к «беззнаменательному» виду. Названное преобразование,  -  т. е. переход от левой части равенства (8) к его правой части  -  называют освобождением от иррациональности в знаменателе (дроби).

Будучи формализованной, процедура освобождения от иррациональности в знаменателе предстает следующим алгоритмом:

1. Задана дробь (2). Это, в частности, означает, что заданы многочлены f и g, порождающие эту дробь, и задан минимальный многочлен  p алгебраического числа б C;

2. Находим многочлены  u  и  v, удовлетворяющие (5);

3. Умножаем числитель и знаменатель дроби (2) на число  u(б) (см. преобразование (7)) и получаем правую часть (8). Задача решена!

Примечание. Частный случай освобождения от иррациональности в знаменателе известен из школьного курса математики. Там выражение g(б), стоящее в знаменателе дроби (2), содержит, как правило, неизвлекаемый в поле Q квадратный корень из положительного рационального (чаще  -  натурального) числа. В этом случае числитель и знаменатель «обрабатываемой» дроби умножаются на «сопряженное» знаменателю число, как раз и являющееся числом  u(б)  в нашей общей версии освобождения от иррациональности в знаменателе.

Формула (8), артикулированная как алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе, одновременно являет собой первый уровень искомой спецификации задания простого алгебраического расширения F(б):

  F(б)  = {h(б)| h F[x]}  (9)

Сравнивая формулы (1) и (9), мы видим, что на этом этапе спецификация предъявления простого алгебраического расширения  F(б) поля F состоит в избавлении от необходимости делить значения многочленов: достаточно ограничиться нахождением таких значений (все  - при х = б).

Продолжим. Возьмем произвольный элемент  h(б)  F(б)  и разделим евклидово многочлен h (определяется  -  возможно неоднозначно  -  выбором элемента h(б) из F(б))  на минимальный многочлен p:

  h =  pg + r,  r = 0  или  deg r < deg p  (10)

При  х = б  равенство (10) дает, с учетом  p(б) = 0:

  h(б) = r(б)  (11)

Таким образом, равенство (9), на основании (10), (11), переписывается так:

  F(б) = {r(б) | r F[x], r = 0 degr < degp}  (12)

Формула (12)  -  это второй уровень спецификации задания  F(б).

Чтобы выйти на третий уровень искомой спецификации, будем рассматривать простое алгебраическое расширение  F(б)  -  по сложению  -  как векторное пространство над F (см. вывод в конце §1). Проанализируем формулу (12). Если положить  degp = n, то r(б) формально можно записать так: