Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 5 )

Доказательство. 1. В §1 отмечалась неприводимость над С многочленов первой степени (см. Вывод, завершающий §1). Остается, следовательно, доказать приводимость над С любого многочлена

  f С [x],  deg f  > 1  (1)

Согласно условию, f имеет в поле С хотя бы один корень б С. Тогда f делится на линейный двучлен  х-б  (алгебраическое определение корня), т. е. f может быть разложен в произведение:

  f =(х – б) g  (2)

На основании (1) из (2) выводим:

  deg (х – б) = 1 > 0, deg g = deg f - deg (х – б) >0  (3)

Соотношения (3) (см. определение приводимости в конце §1) указывают на приводимость f, что завершает доказательство.

2.  Если  f С *, то f не имеет корней и deg f = 0, что соответствует доказываемому утверждению. Пусть, поэтому, deg f  > 0. Пусть, далее, б, б, . . . , б  -  все попарно различные комплексные корни многочлена f соответственно кратностей s, s, … , s. Тогда f можно записать в виде:

  f = (x-б) (x-б) … (x-б)g  (4)

Поскольку всякий корень в многочлена g был бы дополнительным к б, б, . . . , б  корнем многочлена f, а нами выписаны все его корни, то комплексный многочлен g корней не имеет, следовательно его степень равна нулю: deg g = 0. Применяя теперь к (4) правило нахождения степени произведения многочленов (формул (8) §1), устанавливаем, что 

deg f =  s + s +  …  + s. А это  -  по прочтении  -  и есть требование нашего утверждения. Теорема доказана.

Рассмотрим нормированный (со старшим коэффициентом, равным 1) комплексный многочлен f степени больше нуля: deg f = n  > 0. Запишем его в каноническом виде:

  f = x + ax + ….. + ax + a  (5)

Согласно п 2 доказанной теоремы многочлен f имеет ровно n  комплексных корней, считая их кратности. Пусть это будут корни

  б, б,  …, б  (6)

Имея корни (6) мы можем разложить нормированный многочлен f в произведение неприводимых сомножителей:

  x + ax + ….. + ax + a  =  (х-б)(х-б) … (х-б)  (7)

  Производя умножения в правой части (7) и приводя подобные (собирая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х), мы получим многочлен n-й степени. Так как левая и правая части (7)  - это один и тот же многочлен, то последовательно приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях (7) мы получим серию из n равенств (при x в обеих частях стоит 1):

  a  =  -(б + б + … + б)

  a =  ()

  .  .  .  .  .  (8)

  a = (-1)()

  .  .  .  .  .

  a =  (-1)

  Формулы (8) и являются искомыми формулами Виета (Виет Франсуа (1540-1603) -  французский математик). Лингвистическая версия формулы (8) для коэффициента a может быть представлена так:

Коэффициент при k-й степени неизвестной х нормированного комплексного многочлена n-й степени (больше нуля) равен сумме всевозможных  произведений  по  n-k  из  n его  корней, взятой  со  знаком (-1).

При n =2 многочлен f становится квадратным  -  f(x) = x+ax+a  -  и формулы Виета (8) превращаются в хорошо известные в школе формулы, только выводимые для квадратных уравнений:

  a = - (+) 

  a = 

  §5. Корни действительных многочленов. Приводимость  действительных многочленов над полем R

В настоящем параграфе рассматривается поле R вещественных (действительных) чисел. Изложим, вначале,  несколько вопросов, используемых в последующих рассуждениях.

Сопряженные числа и их свойства. Сопряженными называются комплексные числа a+bi и a-bi. Обозначение: a+bi = a-bi или a-bi = a+bi (англ. сonjugate – сопряженный).

  Пусть б и в два любых комплексных числа и  #  -  любая из четырех арифметических операций. Тогда

  1.  б # в  =  б # в  (1)

  2.  б  + б R  (2)

  3.    бб  ≥ 0  (3)

  4.  (б R)    (б  =  б )  (4)

  Рассмотрим теперь действительный многочлен n-й степени:

  f  =  ax + ax + ….. + ax + a  (5)