Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 22 )

  A + B в = 0,  A, B F(в, …, в)  (10)

Если  B ≠ 0, то из (10) следует, что в = - F(в, …, в), а значит, согласно (9), б F(в, …, в) и мы вступаем в противоречие со вторым соотношением (8). Таким образом, тот факт, что б  -  корень уравнения (1), имеет следствием  B = 0, а значит (см. (10)) и  A = 0:

  б  -  корень уравнения (1)    A = B = 0  (11)

Теперь, отталкиваясь от формулы (9), задающей корень б исходного уравнения (1), сами построим число б, «сопряженное» корню б:  б = u - v в. Внесем б в левую часть уравнения (1) и, выполнив предписанные действия, получим:

  x + a б   + a б  + a =  A - B в  (12)

где  A и  B  -  те же, что и в (10). Но тогда, в силу (11), правая часть (12) обращается в нуль, т. е.,  б  -  корень исходного  уравнения (1), отличный от б, а потому совпадающий с б или  б. Пусть, для определенности, б = б = u - v в. Теперь, зная два корня  -  б и  б  -  уравнения (1), мы воспользуемся одной из формул Виета, чтобы найти третий корень б:  а =  -(б + б + б). Отсюда, с учетом выражений для б и  б, находим  б и по виду б, с учетом (9), устанавливаем квадратичное расширение, которому принадлежит б:

  б = - (а+ 2u) F(в, …, в)  (13)

Согласно статусу минимальности квадратического расширения S, которому принадлежит  б (см. Замечание после формулы (8)), соотношение (13) указывает на справедливость включения  S   F(в, …, в), имеющего следствием подчиненность степеней расширений (размерности векторных пространств):

  [S: F]  ≤  [F(в, …, в):F] = 2  <  [S:F] = 2  (14)

Равенство  [S:F] = 2 в цепочке соотношений (14) получено на основании (7). Но результирующее неравенство (14) вступает в противоречие с (6).

Итак, исследуемый нами случай 2 нереализуем. Достаточность доказана.

Применим доказанный критерий к рациональному кубическому уравнению. Итак, пусть в уравнении (1) коэффициенты a, a, a   Согласно (10) область рациональности рационального кубического уравнения совпадает с полем Q. Следовательно, для рассматриваемого случая сформулированный выше критерий выступает в следующей редакции:

Теорема (критерий разрешимости в квадратных радикалах рационального кубического уравнения). Рациональное кубическое уравнение разрешимо в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда оно имеет хотя бы один рациональный корень.

§6. Геометрические задачи на построение циркулем и  линейкой. Алгебраический признак разрешимости задач на построение. Примеры неразрешимых задач на построение.

  В геометрии есть область построений плоских геометрических фигур или отношений между фигурами (например, построить срединный перпендикуляр данного отрезка) с помощью циркуля и линейки. Суть задач на построение заключается в следующем:

1. Имеется два специальных инструмента  -  циркуль и линейка  -  с помощью которых можно производить некоторые базовые построения, фиксируемые в т. н. аксиомах этих инструментов (построить отрезок, задаваемый своими концами; построить окружность данного радиуса с центром в данной точке и т. д.);

2. Заданы элементы некотрой искомой  геометрической фигуры или элементы некоторого искомого отношения между фигурами. Требуется, используя только циркуль и линейку, построить искомую фигуру или искомое отношение между фигурами.

Все геометрические задачи на построение распадаются на два класса: имеющее решение  -  разрешимые при помощи циркуля и линейки и не имеющие решения  -  неразрешимые при помощи циркуля и линейки. Если для отнесения задачи на построение к первому классу достаточно ее решить, то для отнесения ее ко второму классу не решить ее явно недостаточно: нужны инструменты обоснования отсутствия решений в принципе! И здесь на помощь приходит алгебра, а именно  -  теория квадратичных расширений числовых полей. Использование теории квадратичных расширений числовых полей в теории геометрических построений с помощью циркуля и линейки основано на переводе геометрических задач на язык алгебры. Происходит это при помощи соеобразного «словаря перевода» геометрических текстов (понятий, задач и пр.) в алгебраические следующим образом. Базовые геометрические фигуры плоскости  -  отрезки и углы  -  заменяются их числовыми эквивалентами: отрезки  -  их длинами, углы  -  их радианными мерами. В итоге алгебраический эквивалент геометрической задачи на построение часто предстает некоторым алгебраическим уравнением, коэффициентами которого являются числовые эквиваленты фигур, задающих условие геометрической задачи, а корень этого уравнения  -  числовым эквивалентом искомой  -  требующей построения  -  геометрической фигурой. При этом оказывается справедливой следующая теорема (доказывается в теории геометрических построений):