Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 14 )

  где, по определению,

  a, a, ….. a, a   Z  (2)

  Нас будут интересовать рациональные корни = Q  целочисленных многочленов. Здесь p, q   Z, причем знак дроби   всегда можно отнести к числителю, считая знаменатель положительным, т. е. натуральным числом:

  Q,  p Z,  q N  (3)

Кроме того, при рассмотрении дроби   мы всегда будем считать ее несократимой, т. е. ее числитель и знаменатель несократимой дроби  -  взаимно простые числа:

  (p, q) = 1  (4).

Далее, если коэффициенты (2) целочисленного многочлена (1) имеют наибольший общий делитель 

  d = (a, a, ….. a, a)  (5)

то  f  переписывается так:

  f(x) = d (bx+bx+ … +bx+b)  (6)

Обозначим через g многочлен, стоящий в скобках в правой части (6), т. е.:

  f = d g  (7)

Наши рассуждения и равенство (7) указывают на то, что любой целочисленный многочлен можно представить как произведение некоторого целого (даже натурального) числа  -  НОД коэффициентов этого многочлена  -  на примитивный многочлен, который называют ассоциированным для данного многочленом. Таким образом, в (7) многочлен g  ассоциирован многочлену  f. В чем важность ассоциированного многочлена? Во-первых,  если d достаточно большое число, то коэффициенты ассоциированного многочлена g(x) по абсолютной величине гораздо меньше таких же величин исходного многочлена f(x) (см. (7)). А это значит, что обращаться с такими коэффициентами, производить над ними арифметические операции гораздо удобнее и легче, чем обращаться с коэффициентами исходного многочлена. Во-вторых  -  и это самое важное  -  исходный многочлен  f  и его ассоциированный многочлен  g, отличаясь числовым сомножителем, имеют одни и те же корни, или не имеют их вовсе. Иными словами, если решается задача поиска корней целочисленного многочлена f, у которого достаточно большие по абсолютной величине коэффициенты, мы можем ограничиться поиском корней его ассоциированного многочлена  g, оперировать с которым бывает легче.

Учитывая сказанное, мы в дальнейшем сразу будем исходить из того, что уже заданный многочлен f является примитивным, т. е. в (5) d = 1. На практике конечно, при необходимости, у заданного многочлена можно выделить его ассоциированный, примитивный многочлен.

Замечание. Нас интересуют целочисленные многочлены. Но без особого труда можно увидеть, что по существу ничего принципиально не меняется, если исходный многочлен имел бы рациональные, дробные коэффициенты (рациональный многочлен). И в этом случае похожими приемами можно выделить его ассоциированный, целочисленный примитивный многочлен. Для этого необходимо привести все коэффициенты такого многочлена к общему (как правило наименьшему) знаменателю, пусть это будет k, а у полученных после этого числителей найти наибольший общий делитель d. После чего данный рациональный многочлен f(х) будет представлен в виде: f(х)  =  g, где g  -  ассоциированный для f многочлен. 

Нашей ближайшей задачей является построение (нахождение) правила, алгоритма (последовательности предписанных шагов) отыскания рациональных корней целочисленных многочленов любой натуральной степени. Итак, пусть задан целочисленный многочлен f и задан он формулой (1). Пусть рациональное число Q, (дробь несократима  -  имеет место (4)), является искомым корнем целочисленного многочлена f(x). Это значит, что

  f( ) = 0  (8)

  или, что то же самое,

a( ) + a( ) + ….. + a( ) + a  =  0  (9)

Умножив обе части (9) на q (приведение к общему знаменателю), получим:

ap + apq + ….. + a p q + a q  =  0  (10) 

Всмотримся в равенство (10). Все слагаемые левой части, кроме последнего, содержат множителем число p, поэтому, очевидно, каждое из них делится на p. Кроме того, вся левая часть (сумма) делится на p, потому что эта сумма равна 0. Следовательно, последнее слагаемое в левой части (10) обязано делится на p, или, что то же самое, p делит это слагаемое:

  p │ aq  (11)

Точно такие же рассуждения, примененные к числу q  и всем слагаемым, кроме первого, левой части (10) приводят нас к аналогичному выводу:

  q │ ap  (12)

Теперь исследуем соотношение (11). Здесь число p делит произведение двух чисел: a  и  q. Но поскольку p взаимно просто с одним из сомножителей,  -  а именно с q,  -  то

  p │ a  (13)

Если по той же схеме исследовать (12), то, по аналогии, получим еще одно соотношение делимости:

  q │ a  (14)

Равенства (13), (14) являются промежуточным итогом наших рассуждений по отысканию (построению) алгоритма нахождения рациональных корней целочисленных многочленов. Лингвистической версией этого итога выступает

Необходимое условие рационального корня целочисленного многочлена. Если несократимая дробь   (рациональное число ) является корнем целочисленного многочлена f, то числитель этой дроби делит свободный член, а знаменатель делит старший коэффициент этого многочлена.