Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 7 )

Следует обратить внимание на то, что арифметических операций (бинарных) -  всего четыре, в то время как операций извлечения корней любой натуральной степени (унарных)  -  бесконечно много. Применяться эти операции могут самым различным образом: к исходным числам (1), к результатам этих операций над числами (1), к результатам результатов … (иерархия или последовательность применения операций) и т. д.

Определение. Алгебраическим уравнением n-й степени с комплексными коэффициентами называют уравнение вида

  f(x)  =  0  (2)

где f(x)  C [x]  deg f(x) = n.

Замечание.  В более общем виде (и в конкретных примерах) многочлены могут стоять и в левой, и в правой частях (2). Но путем эквивалентных преобразования такие уравнения приводятся к стандартному виду (2).

Записав многочлен f в левой части (2) в каноническом виде, получим каноническую запись алгебраического уравнения n-й степени:

  ax + ax + ….. + ax + a  =  0  (3)

Определение. Комплексное число б называют корнем алгебраического уравнения (2), если б  -  корень  многочлена, стоящего в его левой части, т. е.. если

  f(б)  =  0  (4)

Из определения усматривается тождественность понятий «корень многочлена»  и  «корень алгебраического уравнения», что поможет нам в дальнейшем. В частности, из этого факта вытекает, что алгебраическое уравнение n-й степени с комплексными коэффициентами имеет в поле С в точности  n  корней. Проблема решения алгебраических уравнений состоит, следовательно, в нахождении (отыскании) их корней. В проблеме нахождения корней алгебраического уравнения выделяют два аспекта: 1. можно ли построить процедуру (алгоритм)  нахождения корней, и 2. сводима ли такая процедура к выражению корней уравнения в радикалах через его коэффициенты. Нас интересует второй аспект.

Определение. Говорят, что корень б  алгебраического уравнения выражается в радикалах, если б  выразим в радикалах через коэффициенты этого уравнения. Если все корни алгебраического уравнения выразимы в радикалах, то уравнение называют разрешимым в радикалах.

К разрешимым в радикалах очевидно относятся алгебраические уравнения 1-й (линейные) и 2-й (квадратные) степеней. Нас интересует проблема разрешимости в радикалах алгебраических уравнений выше 2-й степени. Сделаем два достаточно очевидных, но для дальнейшего очень важных замечания относительно алгебраических уравнений.

Замечание 1. В алгебраическом уравнении (2) (или (3)  -  что то же самое) многочлен f всегда можно считать нормированным (старший коэффициент равен 1). Действительно, если это не так, то можно умножить обе части уравнения на    («пронормировать»  -  заменить многочлен f(x) на f(x)), что оставляет неизменным набор искомых корней.

Замечание 2. Пусть рассматриваемое алгебраическое уравнение (3) нормировано:

  x + ax + ….. + ax + a  =  0  (6)

Сделаем замену переменных, а именно, положим в (6)

  x = y -   (7)

Преобразовав левую часть (6) на основании (7), мы получим новое алгебраическое уравнение той же степени n с неизвестной y, в котором  -  и это - цель осуществленной замены переменных  -  отсутствует слагаемое с y (коэффициент при  y равен 0):

  y + Ay + ….. +Ax + A  =  0  (8)

Определение. Алгебраическое уравнение  n-й степени с нулевым коэффициентом при (n-1)-й степени неизвестной называют неполным.

Таким образом, (8)  -  неполное (и даже нормированное) уравнение n-й степени. Из способа перевода алгебраического уравнения в неполное усматриваются необходимые для дальнейшего выводы. Любое алгебраическое уравнение подходящей заменой переменных (в нашем случае  -  это замена (7)) преобразуется в неполное, причем:

1. если - корень уравнения (6), то = +   -  корень уравнения (8) и наоборот: если   -  корень уравнения (8), то  =   -   -  корень уравнения (6);

2. если корень уравнения (6) выражен в радикалах, то, как видно из (7), корень уравнения (8) также выражается в радикалах и наоборот.

Отсюда  -  важный вывод-подспорье: Если решается задача выявления разрешимости в радикалах заданного алгебраического уравнения, то ее можно заменить задачей выявления разрешимости в радикалах более простого нормированного и неполного уравнения, к которому соответствующими преобразования сводится исходное уравнение. Причем такой сводимостью мы, при необходимости и возможности, решим исходное уравнение (найдем все его корни).

§7. Решение в радикалах кубических уравнений

Задача. Дано алгебраическое уравнение 3-й степени (его называют кубическим) с комплексными коэффициентами. Требуется установить его разрешимость в радикалах и, если оно разрешимо в радикалах, найти все его корни.

Приступаем к решению этой задачи. Во-первых, заменим в поставленной задаче кубическое уравнение неполным и нормированным (см. последний вывод §6):

  x + px + q  =  0,  p, q  C  (1)

Далее, запишем искомый корень б  уравнения (1) в виде суммы двух чисел u и v: 

  б =  u +v  (2)

Вносим в левую часть (1) вместо х число  б  из (2). Совершив, после этого, достаточно элементарные и прозрачные преобразования, получим:

  u + v + (u + v)(3uv + p) + q  =  0  (3)

Выбранное нами представление (2) корня б (неявно задан) уравнения (1) указывает на то, что на числа  u, v  мы можем наложить какое либо нужное  нам соотношение, позволяющее, при фиксации одного из этих чисел, найти второе и, следовательно, найти б. Равенство (3) подсказывает каким бы могло быть это соотношение, связывающее  u и v. А именно, положим

  3uv + p = 0  или  uv = -   (4)

На основании (4) равенство (3) примет вид (перенеся q правую часть):

  u + v  =  - q  (5)

Итак, к настоящему моменту задачу решения в радикалах неполного кубического уравнения (1) мы заменили задачей решения системы уравнений (4), (5):

  u + v  =  - q  (6)

  uv = -  

Выразимся более определенно: 1. если б  -  корень неполного кубического уравнения (1), то всегда можно подобрать два числа  u и v, образующие решение (пара чисел) системы уравнений (6); 2. если какие либо числа  u и v  образуют решение системы уравнений (6), то их сумма (2) является корнем исходного уравнения (1). Для удостоверения этого факта вносим вместо х в левую часть (1) число  u+v,  преобразуем к (3) и убеждаемся, в силу (6), в обращении полученного выражения в 0, т. е.  u+v  -  корень уравнения (1).