Числовые многочлены Учебно-методическое пособие (стр. 17 )

Соотношение (2)  -  в иной редакции  -  означает, что

  F(б) = { │ f, g    F[x]}    F(б)  (3)

Далее, формула (3), раскрывающая строение F(б), указывает на то, что  F(б)  -  подполе поля F(б):

  F <  F(б)  (4)

Кроме того

  б F(б)  (5)

Учитываем, что в случае простого расширения числового поля S = {б}, формулы (4), (5) по существу совпадают с формулами (1). Но поскольку F(б)  -  наименьшее поле со свойствами (4), (5), то

  F(б)    F(б)  (6)

Соотношения (3), (6) указывают, что  F(б) = F(б). тем самым раскрыто строение простого расширения  F(б):

  F(б) = { │ f, g  F[x]}  (7)

  Не вдаваясь в детали, по той же схеме устанавливается строение составного расширения числового поля:

F(б, б, …,б) = { │ f, g  F[х,...,х]}  (8)

Если вспомнить конструкцию кольца многочленов от n переменных

  F[х,...,х] = (F[х,...,х])[х],  (9)

то (8), на основании(9), имплицирует равенство:

  F(б, б, …,б)  =  (F(б, б, …,б)) )(б)  (10)

Формула (10) указывает на то, что составное расширение числового поля строится, наряду с формулой (8), его задающей, и как последний элемент цепочки простых расширений:

  F → F(б) →  (F(б))( б)→ … →(F(б, б, …,б)) )(б)  (11)

Примечание. Пусть произвольное поле F является подполем другого поля T (T называют надполем поля F). Формализуем ситуацию. В поле  T фокусируем внимание только на операции сложения. В новой ситуации структура (T, +) (умножение “депортировано“ из T) по отношению к полю F удовлетворяет всем требованиям векторного пространства. Лингвистическая редакция: из двух полей надполе (по сложению) является векторным пространством над другим полем  -  подполем.

Вывод. Сформулированное примечание дает основание рассматривать  -  по сложению  -  любое расширение F(S)  числового поля F как векторное пространство над ним.

§2. Алгебраические числа. Минимальный многочлен алгебраического числа

Определение. Число б C  называется алгебраическим над полем F, если б  является корнем некоторого ненулевого многочлена f F[x]:

  (б-алгебраическое над F)((бC)(fF[x])(f≠0)(f(б)=0))  (1)

Все многочлены кольца  F[x], имеющие число б  своим корнем, образуют идеал кольца  F[x] (проверить):

  I = { f F[x] | f(б) = 0} <|  F[x]  (2)

Поскольку  F[x]  -  будучи евклидовым  -  является кольцом главных идеалов, то  I  -  главный идеал. Пусть многочлен  p F[x] является образующим элементом идеала I:

  I =  (p)  (3)

Определение. Если число  б C  алгебраично над полем F, то образующий многочлен идеала всех многочленов из  F[x], имеющих число б  своим корнем, называется его минимальным многочленом.

Определение минимального многочлена указывает на то, что  он определяется с точностью до ассоциированного с ним многочлена, т. е. с точностью до обратимого в F[x] сомножителя, каковыми являются ненулевые числа из F.

Возможна иная редакция определения минимального многочлена. С целью ее получения, заметим, что многочлен  p имеет наименьшую степень среди всех (ненулевых) многочленов идеала I  -  все они кратны образующему многочлену p. Это свойство минимального многочлена является его характеристическим свойством, т. е. однозначно его определяющим. Действительно, обозначим через q F[x]  -  ненулевой многочлен наименьшей степени, имеющий  число  б C  своим корнем (такой многочлен по достаточно прозрачным основаниям существует). Ясно, что  q I и поэтому

  p| q  (4)

С другой стороны, разделив в  F[x]  евклидово p  на  q, получим:

  p =  qg + r, где  r = 0  или  deg r < deg q  (5)