Дифференциальное исчисление (стр. 10 )

Рис. 3.3.2

Для доказательства этого в угле проведена биссектриса. Легко проверяются неравентва: Откода следует, что длина хорды

,

Другими словами, длина хорды ломаной меньше соответствующей составляющей тангенса.

       3.4.2. Второй замечательный предел.

Лемма 1.Если xn=a, {nk} - последовательность натуральных чисел такая, что nk=+? , то =a.

Отметим, что не обязана быть подпоследовательностью.

Доказательство: По условию xn=a, т. е.

???N??n>N?  : |xn - a|<?.                                                (2)

Далее, используя второе условие nk=+?  можно для N?  найти K?k >K: nk>N?  . Тогда из (2) будет следовать, что

|- a|<?, ч. т.д.

Лемма 2. Если xk=0, xk>0, то =e.

Доказательство: Так как xk=0 , то можно считать, что для всех справедливо : . Для целой части числа , nk= будут выполнены неравенства:

, 

Поэтому

                               (3)

Пределы последовательностей , согласно лемме 1, равны числу e. Для того, чтобы это проверить, эти последовательности можно представить в виде:

Переходя к пределу в (3) при k>? , по теореме о трех последовательностях, получим требуемое утверждение.

Следствие 1. .

Действительно, утверждение леммы 2 означает, что для любой последовательности {xk} типа Гейне при x>0+0 будет выполнено =e и, следовательно, .

Аналогичное утверждение справедливо для любой последовательности {xk} типа Гейне при и, поэтому, .

Следствие 2. ,. Первое утверждение следует из теоремы о связи предела с односторонними пределами. Последнее равенство получено с помощью замены x = 1/y.

Следствие 3. , если -бесконечно малая при

Пример 1 (Раскрытие неопределенностей типа: ). Вычислить предел , где и

В этом случае будет существовать бесконечно малая при такая, что. Тогда и если мы найдем предел , то Отметим, что здесь может быть: - число, . -может быть числом или символом .

Пример. Вычислить предел .

.

=

=?.

=??

Поэтому ? и . Откуда получаем, что .

Выпишем часто используемые основные эквивалентности

sin x ? x, x>0,

? ,

? x, x>0.

Второе и третье соотношения будут доказаны в последующем.

Стандартные эквивалентности

3.5 Непрерывные функции

Понятие непрерывности. Свойства непрерывных функций. Классификация разрывов. Теоремы Вейерштрасса. Нули непрерывных функций. Равномерная непрерывность.

3.5.1.Непрерывность в точке и на множестве

Определение. Функция f(x), заданная на множестве X, содержащем некоторую проколотую окрестность точки x0,  X?, называется непрерывной в точке x0 , если она определена в точке и.

Определение непрерывности в точке по Коши

Функция определена в точке и ??>0??>0?x? X,|x - x0|<?: |f(x) - f(x0)|<?.

Определение непрерывности в точке по Гейне

Функция определена в точке и ?xn, {xn}>x0, {xn}?X : f(xn)=f(x0).

Непрерывность справа:

Функция определена в точке и ??>0??>0?x? X, x0 ? x < x0 +?: |f(x) - f(x0)|<?.

Непрерывность слева:

Функция определена в точке и ??>0??>0?x? X,  x0 - ? < x ?  x0 : |f(x) - f(x0)|<?.