Дифференциальное исчисление (стр. 21 )

4° Дополнительные исследования ( если необходимо, выпуклость, точки перегиба, пересечение с осями и т. п. )

Замечание. Отыскание глобальных максимумов и минимумов на отрезке производится среди точек трех типов:

стационарные точки особые точки (где не существует производная) граничные точки.

Пример.

Асимптоты y/x>1, x>±?

при x>±? .

Асимптота y=x-1

Особые точки ( в первом приближении только для первой производной ) 0,2,3

Рис. 4.23

Таблица для построения графика функции

t	(-?,-1)	-1	(-1,1)	1	(1,?)
	+	+	-
x	-? ^ -3	-3	-3 ^ 1	1	1 v -?
Диапазон x	(-?,-3)	(-3,1)	(-?,1)
dy/dx	-	0	+	3	+
y(x)	?v-2	-2	-2^2	2	-?^2
d2y/dx2	+?	+?	-?

Пример. Исследовать поведение кардиоиды r = 2(1 + cos t) в окрестности точек t = 0, t = ?.

=.

=

Для нахождения точек перегиба полезно методом сложения графиков построить приблизительно график функции . Из этого графика видно, что направление выпуклости меняется в районе точек и точки (из за знаменателя). Около точки числитель не меняет знак, а знаменатель меняет, так образом, это тоже точка перегиба.

Рис. 4.24

Рис. 4.25

Глава 5. Элементы теории кривых

5.1 Векторная функция скалярного аргумента

Кривые на поскости и в пространстве. Векторная функция.

5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями

На плоскости

, r(t)=x(t)i+y(t)j.

В пространстве

, r(t)=x(t)i+y(t)j +y(t)k.

Операции над вектор функциями

1) p(t), q(t)  p(t)+ q(t).

2) ?(t)r(t).

3) Скалярное произведение (p(t) , q(t)).

4) В трехмерном пространстве определено векторное произведение [ p(t) , q(t) ].

5.1.2. Предел вектор функции

Определение

r(t)=a

Или, что тоже, |r(t) – a|=0 .

Замечание 1. Это определение не зависит от выбора базиса i, j, k.

Геометрическая интерпретация.

Рис. 4.26

Теорема. (Критерий существования предела вектор функции) Для существования предела

r(t) = a необходимо и достаточно существования пределов координат вектор функции

r(t) = a

Доказательство. Для заданного значения параметра t обозначим

?(t) = max{|x(t)-ax|,| y(t)-ay |,| z(t)-az |}. Для любого t справедливо неравенство

?(t) ? =|r(t) – a|.

С другой стороны |r(t)–a|=

? ?(t).

Из этих неравенств и следует требуемое утверждение.

Замечание 2. Для существования предела необходимо требовать, чтобы r(t) была определена в некоторой проколотой окрестности точки t0. Можно рассматривать односторонние производные.

Из теорем о пределах функций, с помощью доказанного критерия, получаются соответствующие теоремы для пределов вектор функций. Перечислим некоторые из них.

Предел, если он существует, единственен. Предел суммы и произведения на обычную функцию

( p(t)+q(t) )= p(t)+q(t).

(?(t) p(t))=?(t)p(t).

3) (p(t) , q(t))=(a, b).

a=p(t) , b = q(t) .

Доказательство. Пусть p(t)=,q(t)= , a=, b = . Тогда ( p(t),q(t))== ( a, b ).

4) [ p(t) , q(t)]=[ a, b ] , если a=p(t) , b = q(t) .

Для краткости введем обозначения:

.

[p(t),q(t)]= [ a, b ].

5.1.3. Непрерывность вектор функции

r(t) определена на [?, ?] и t0?(?, ?)

r(t) непрерывна, если r(t) = r(t0)

Аналогично определяется непрерывность справа, слева.

Непрерывность на множестве.

Свойства

p(t) , q(t) , ?(t) непрерывны в точке t0 ? непрерывны p(t) + q(t), ?(t)p(t) ,( p(t), q(t)), [ p(t) , q(t)] .

5.1.4. Дифференцируемость вектор функции

Пусть r(t) определена в окрестности точки t0.

Производной в точке t0 называется нижеследующий предел, если он существует,

r?(t)=(r(t) – r(t0))/(t – t0).

Теорема. Производная вектор функции r(t) в точке t0 существует тогда и только тогда, когда существуют x?(t0), y?(t0), z?(t0) и r?(t0)=.

Утверждение следует из критерия существования предела вектор функции.

Замечание. Если у r(t) существует r?(t0) в точке t0, то r(t) непрерывна в этой точке.

Определение. Векторная функция r(t) называется дифференцируемой в точке t0, если в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство