Дифференциальное исчисление (стр. 15 )

Если область определения  [?, ?] параметрически заданной функции можно разбить на конечное число отрезков [?k, ?k ], k=1,2,…,n, на каждом из которых функция x(t) строго монотонна, то параметрически заданная функция распадается на конечное число обычных функций fk(x)=y(t -1(x)) с областями определения [x(?k ), x(?k )] для участков возрастания x(t) и с областями определения [x(?k), x(?k )] для участков убывания функции x(t). Полученные таким образом функции называются однозначными ветвями параметрически заданной функции.

На рисунке показан график параметрически заданной функции

При выбранной параметризации область определения [0,2?] разбивается на пять участков строгой монотонности функции sin(2t), именно: t?  t?, t?, t? , и, соответственно, график распадется на пять однозначных ветвей, соответствующих этим участкам.

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Можно выбрать другую параметризацию того же геометрического места точек

.

В этом случае таких ветвей будет только четыре. Они будут соответствовать участкам строгой монотонности t? , t? , t? , t?  функции sin(2t).

Рис. 4.6

Четыре участка монотонности функции sin(2t) на отрезке длинной .

Рис. 4.7

Изображение обоих графиков на одном рисунке позволяет приблизительно изобразить график параметрически заданной функции, используя участки монотонности обеих функций.

Рассмотрим для примера первую ветвь, соответствующую отрезку t? . На концах этого участка функция x=sin(2t) принимает значения -1 и 1 , поэтому эта ветвь будет определена на [-1,1] . После этого нужно смотреть на участки монотонности второй функции y=cos(t), у нее на   два участка монотонности . Это позволяет сказать, что у первой ветви имеется два участка монотонности. Найдя концевые точки графика можно соединить их прямыми для того, чтобы обозначить характер монотонности графика. Проделав это с каждой ветвью, получим участки монотонности однозначных ветвей графика (на рисунке они выделены красным цветом)

Рис. 4.8

Первая однозначная ветвь f1(x)=y(t(x)) , соответствующая участку   будет определена для x?[-1,1]. Первая однозначная ветвь t?, x?[-1,1].

Все остальные три ветви будут иметь областью определения тоже множество [-1,1].

Рис. 4.9

Вторая ветвь t?x?[-1,1].

Рис. 4.10

Третья ветвь t? x?[-1,1]

Рис. 4.11

Четвертая ветвь t?x?[-1,1]

Рис. 4.12

Замечание 2. Одна и та же функция может иметь различные параметрические задания. Различия могут касаться, как самих функций x(t), y(t) , так и области определения [?, ?] этих функций.

Пример различных параметрических заданий одной и той же функции

и t?[-1, 1].

Замечание 3. Если x, y непрерывны на [?, ?] , x(t)- строго монотонна на отрезке [?, ?] и существуют производные  y?(t0), x?(t0)?0, то существует f?(x0)=.

Действительно, .

Последнее утверждение распространяется и на однозначные ветви параметрически заданной функции.

4.2 Производные и дифференциалы высших порядков

Старшие производные и дифференциалы. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Формула Лейбница.

4.2.1.Производные высших порядков

Определение. Пусть f(x) определена на (a, b) и имеет в некоторой окрестности точки x0?(a, b) производную g(x)=f?(x). Если в точке  x0 существует g?( x0), то она называется производной второго порядка от f в точке x0 и обозначается f??(x0). Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)- го порядка

Обозначение Лейбница

Отметим, что для существования n-ой производной в точке, предыдущая (n-1)-я производная должна существовать в некоторой окрестности.

Аналогично определяются односторонние производные старших порядков.

Функция f называется n-раз дифференцируемой на X, если в каждой точке X существует n-ая производная.

f называется n-раз непрерывно дифференцируемой на X, если n-ая производная на X существует и непрерывна на X.

Классы C(X), C[a, b], Cn(X), Cn[a, b].

Cn(X) – множество всех n-раз непрерывно дифференцируемых на X функций.

Cn[a, b] – множество всех n-раз непрерывно дифференцируемых на [a, b] функций. C(X)-множество всех непрерывных на X функций.

C[a, b]-множество всех непрерывных на [a, b] функций.

Пример. Вычисление второй производной функции, заданной параметрически

, x(t) строго монотонна,

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Пример. Вычислить для функции

4.2.2. Вычисление производных функций, заданных неявно

Обозначим через F(x, y) некоторое выражение, содержащее параметры x, y. Говорят, что задана функция двух переменных. Функцией, заданной неявно уравнением

F(x, y)=0                                                                                (1)

называется любая функция y=f(x) с областью определения X,  при подстановке которой в левую часть (1), это равенство превращается в тождество:

?x?X:F(x, f(x))=0.

Такие функции называется также однозначными ветвями неявно заданной функции.

Для вычисления производной y?(x) функции, заданной неявно уравнением (1) достаточно продифференцировать тождество F(x, f(x))=0 по переменному x. В результате такого дифференцирования всегда будет получаться соотношение вида

A(x, y)+B(x, y)y?=0 ,                                                        (2)

где A(x, y), B(x, y) будут представлять собой некоторые выражения, включающие в себя x и y. Из равенства (2) можно найти выражение для y?  в нужной точке.

Пример 1:  x2+y2=1, найти .

2x+2yy?=0, y?=. Для нахождения второй производной следует использовать равенство x+yy?=0, дифференцируя которое, получим 1+(y?)2+yy??=0, откуда следует y??=

Пример 2:  xy+exy=0.

4.2.3. Формула Лейбница

под «нулевыми» производными подразумеваются сами функции .

Индукция по n. Для n=1 формула верна (fg)?=fg?+gf?. Предположим, что формула доказана для n. Вычислим (n+1)-ю производную