Дифференциальное исчисление (стр. 1 )

Часть 1. Дифференциальное исчисление

Глава 1.  Ведение

Операции над графиками

1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики

В разделе рассматриваются основные понятия теории множеств, определение множества действительных чисел. Приводится необходимая терминология математической логики.

1.1.1. Множество, операции над множествами, обозначения

Множество - совокупность некоторых различимых объектов. Задать множество - задать признаки, характеризующие эти объекты.

Примеры:

N - натуральные числа,  Z - целые числа,  Q - рациональные числа,  R - вещественные числа,  [a, b] – отрезок, (a, b) – интервал, (a, b],[a, b) – полуинтервалы.

Элемент принадлежит множеству  x E,  элемент не принадлежит множеству x E.

Подмножество  A ? E.

?- пустое множество  E?E. 

Обозначение множества перечислением - {a, b, c}.

Обозначение множества указанием характеризующего свойства – { x : x удовлетворет свойству P}.

Пример: N={x?Z: x > 0}; [a, b]={x: a?x?b}

Дополнение множества A  (или разность двух множеств)

E\A={x?E: x?A}

Рис. 1.1

Пересечение двух множеств  A?B ={x: x?A и x?B}

Рис. 1.2

Если два множества не пересекаются, то это можно записать в виде A?B=?.

Объединение  двух множеств  A?B  ={x: x?A или x?B}

Рис. 1.3

Основные операции над множествами

Произведение множеств  A?B  ={(x, y): x?A и y?B}.

Произведение множеств

Пример  R2 = R ? R - плоскость.

1.1.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества

Даны  множества A  и  B. Отображение  из A  в  B  (или функция определенная на A со значениями в B) -  соответствие или закон (обозначим его f ), которое каждому  a A сопоставляет единственное  b ? B. Обозначения:  A B,  f: A > B,  b=f(a).

a - прообраз, b - образ при отображении f.

Отображение из A в B называется взаимно-однозначным, если

1) разные элементы из  A  имеют разные образы,

2) каждый элемент из  B  является образом некоторого элемента из A.

Эквивалентные множества  A ? B или множества одинаковой мощности, если существует взаимно-однозначное соответствие  между элементами этих множеств.

Счетное множество  A ? N.

Пример: Множество рациональных чисел счетно.

Одно из важных свойств счетных множеств:

Объединение конечного или счетного числа счетных множеств является счетным множеством.

Несчетные множества. Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным. Множество  [0,1]  имеет большую мощность, чем N. Множество эквивалентные по мощности отрезку [0,1] называются множествами мощности континуума. Множество действительных чисел R - несчетное множество, это множество является множеством мощности континуума.

1.1.3.Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)

Примеры:

Квантор	Субъект	Связка	Предикат
1	Все	числа	являются	не рациональными
2	Некоторые	натуральные числа	-	четны

В последнем случае подразумевается связка “являются”. Вместо термина предикат мы будем использовать также термин свойство. Суждения бывают истинными или ложными. Противоположное свойство P или отрицание свойства P обозначается значком или .

В традиционной логике допускаются два типа суждений, каждый из которых характеризует возможные отношения между двумя классами (классом субъектов и классом предикатов):

Все S являются P (каждый из S удовлетворяет свойству P)

Некоторые из S являются P ( существует представитель из S, удовлетворяющий свойству P )

Здесь S обозначает класс субъектов, а P - класс предикатов (или некоторое свойство, характеризующее этот класс ). Все, каждый, любой, произвольный называются универсальным квантором или квантором общности. Квантор общности обозначается значком ?. Некоторые из, существует - экзистенциальные кванторы. Квантор существования обозначается значком ?. Таким образом, основные типы суждений можно записать в следующей форме (логической связке соответствует символ двоеточия ):

?x?S: P (для любого x из S выполнено свойство P). ?x?S: P (существует x из S, для которого выполнено свойство P).

Предикат и субъект в суждении могут быть составными, в частности они сами могут быть суждениями. Например, рассмотрим высказывание (суждение):

?? > 0 ?? > 0 ?x,|x - x0|<? : | f(x) – 2 |<?.

Это высказывание следует читать так: Для любого эпсилон больше нуля существует дельта больше нуля, (что) для всех икс, удовлетворяющих неравенству |x - x0|<?, выполнено неравенство  . Это суждение является составным и может быть разложено на простейшие суждения следующим образом:

???S1 : P1, где S1 - класс субъектов, именно:  S1={x?R, x > 0}, P1 - предикат,

P1=(???S2 : P2), где S2=S1, P2 - предикат,

P2=(?x?S3: P3), S3= S3(?)={x?R:|x - x0|<?}, P3 – предикат (свойство) |f(x)-2|<?.

Прямая и обратная теоремы, эквивалентность, метод математической индукции

Структура простейшей теоремы выглядит следующем образом: дано свойство A (условие),  из него выводится свойство B (заключение).

В этом случае говорят A влечет B (из A следует B) и пишут  A B.  Последняя запись подразумевает, на самом деле, истинность выражения A B.

Если к тому же  B A, то говорят, что верна и обратная теорема и пишут A? B, при этом A и B называются эквивалентными.

Теорема. Отрицание суждения должно строиться по следующим формальным правилам:

1. квантор  ?  заменяется на квантор ?.

2. квантор  ?  заменяется на квантор ?.

3. предикат P  заменяется на свое отрицание.

Пример: ?? >0 ?? >0 ?x,|x - x0|<? : |f(x)-2| < ?.

его отрицание ?? >0 ?? >0 ?x,|x - x0|<? : |f(x)-2| ? ?.

Доказательство достаточно провести для двух типов простейших суждений:

1. ? x: P.

2. ? x: P.

Для таких суждений сформулированная теорема достаточно очевидна. Например, для первого суждения. Если для любого x выплнено P, то отрицанием будет: найдется x для которого P не будет выполнено. Это означает, что . Если эта теорема доказана для простейших суждений 1 и 2, то остается еще раз заметить, что любое суждение можно представить, как составное и последовательно применять доказанное утверждение для простейших суждений, составляющих данное суждение.

Метод математической индукции

Имеется последовательность свойств  Pn.  Если доказано свойство  P1  и  для всех  k:

Pk Pk+1, то свойства Pn  справедливы для  всех n N.

1.1.4.Вещественные числа

Рассматривается множество R, со следующими свойствами

1. Свойство упорядоченности

Для любых элементов этого множества a, b  выполнено: либо  a < b, либо  a = b, либо  a > b

1.1  a < b,  b < c  ?  a < c ( свойство транзитивности ).

Определение: ( a < b ) или ( a = b ) , то пишут  a ? b.

2. Свойства операции сложения. Имеется отображение из R2 в  R: ?a, b > a+b.

  a + b = b + a (коммутативность).

       ( в терминах суждений можно было бы написать

?a:( ?b: a + b = b + a) ).

2.2  a + ( b + c ) = ( a + b ) + c (ассоциативность).

2.3        ?0  ?a  ?  R :  a + 0 = a.

2.4        ?a ? противоположный  - a :  a + (-a) = 0.        

Определение: b – a = b + (-a).

2.5  a < b ?  a + c  <  b + c, ( ?c ).

3.  Свойства операций умножения  (Имеется отображение ?a, b > ab).

3.1  a  b = b  a        (коммутативность).

3.2  a  ( b  c ) = ( a  b )  c        (ассоциативность).

3.3        в множестве существует элемент обозначаемый 1,  такой, что

?a ? R :  1 a  = a.

3.4        ?a?0? a -1(обратный ): a a -1 = 1.

Определение: .

3.5        a < b  и  c > 0   a  c  <  b  c  .