Дифференциальное исчисление (стр. 20 )

Теорема ( Необходимое условие экстремума ).

Если x0 – точка экстремума функции f и существует f?(x0), то f?(x0)=0.

Доказательство. Следует из теоремы Ферма.

Определение. Точка, в которой  f?(x0)=0 называется стационарной точкой.

Замечание. Таким образом, у дифференцируемой функции экстремум следует искать среди стационарных точек.

Пример. f(x)=x3.

Теорема. ( Первое достаточное условие экстремума )

Пусть f непрерывна в точке x0. Если в некоторой проколотой окрестности точки x0 функция f(x) дифференцируема и f?(x) меняет знак при переходе через точку x0 , то x0 есть точка строгого экстремума, причем

производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум,

производная меняет знак с плюса на минус, то это максимум.

Доказательство. Применить теорему 3 на [x0-?, x0] и на

[x0, x0+?].

Другими словами, теорему можно сформулировать так: Если f непрерывна в x0, дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки x0 причем f?(x)?0 на (x0-?, x0), f?(x)?0 на (x0, x0+?),

тогда в точке x0 локальный минимум. Аналогично, для максимума достаточно выполнения условий:

f?(x) ? 0 на (x0-?, x0), f?(x) ? 0 на (x0, x0+?).

Пример. |x|.

Теорема (Второе достаточное условие экстремума)

Пусть x0 – стационарная точка функции f и ? f??(x0)?0, тогда, если f??(x0)>0, то в точке строгий минимум, если f??(x0)<0, то в точке строгий максимум

Доказательство. Пусть f??(x0)>0,

Из теоремы о сохранении знака в некоторой проколотой окрестности будет выполнено неравенство

, или . Тогда для x > x0 будет

f?(x) > 0 , а для x < x0 : f?(x) < 0.

Аналогично для случая  f??(x0)<0.

Задача. Из квадратного листа сделать выкройку коробки, открытой сверху, наибольшего объема

Рис. 4.16

Объем коробки равен  (a-2x)2x. Для поиска максимального объема вычислим производную

f?(x)=( 4x3- 4ax2 +a2x)?= 12x2 - 8ax+ a2 . Нули производной

Таким образом, x = .

Рис. 4.17

4.6.3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных

Пусть x0 стационарная точка функции f, f(x) n-раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 причем

f?(x0)= f??(x0)=…= f(n-1)(x0)=0, f(n)(x0)?0. В этом случае по формуле Тейлора с остатком Лагранжа будет выполнено равенство .

n=2k

Если f(2k)(x0)>0 , то в x0 наблюдается строгий локальный  min.

Если f(2k)(x0)<0 , то в x0 наблюдается строгий локальный max.

n=2k+1

x0 не является точкой экстремума, так как приращение функции  f(x) – f(x0) имеет разные знаки по разные стороны от точки x0 .

Пример f(x) = ch x + cos x -, в точке 0.

f?(x)=sh x – sin x - , f ?(0)=0,

f??(x)=ch x – cos x –x2, f??(0)=0,

f???(x)=sh x + sin x –2x, f???(0)=0,

f(4)(x)=ch x + cos x –2, f(4) (0)=0,

f(5)(x)=sh x - sin x, f(5) (0)=0,

f(6)(x)=ch x - cos x, f(6) (0)=0,

f(7)(x)=sh x + sin x, f(7) (0)=0,

f(8)(x)=ch x + cos x, f(8) (0)=2 >0 . Поэтому в точке 0 имеется строгий локальный min.

4.6.4. Выпуклость функции, точки перегиба

Хорда, соединяющая точки M1(x1, f(x1)), M2(x2, f(x2)) графика функции f(x) задается функцией

y=L(x, x1, x2 ) =+                                (*)

Это проверяется подстановкой координат x1, x2 в правую часть (*).

Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх на [a, b], если для ?x1<x<x2 из [a, b]

                        (1)

Рис. 4.18

Аналогично определяется выпуклая вниз функция. Можно дать определение строгой выпуклости, заменив нестрогое неравенство на строгое в (1) .

Теорема ( Достаточное условие выпуклости )

Если f непрерывна на [a, b], дважды дифференцируема на (a, b) и f??(x)>0 на (a, b), то f строго выпукла вниз.

Доказательство. Для любых , a?x1<x<x2?b имеем

=

Участвующие в этих соотношениях величины расположены на оси в показанном на рисунке порядке.

Рис. 4.19

Определение. Точка x0 называется точкой перегиба функции f, если в точке x0 существует касательная и в некоторой окрестности точки x0 график f лежит по разные стороны от касательной.

Рис. 4.20

Теорема 1. ( Необходимое условие точки перегиба )

Если f дважды непрерывно-дифференцируема в окрестности точки перегиба x0, то f??(x0)=0.

Доказательство. Противное f??(x0) ? 0. По теореме о сохранении знака f??(x) сохраняет знак в окрестности точки x0 . По формуле Тейлора с остатком  Лагранжа

Левая часть этого равенства имеет смысл уклонения точки графика функции от касательной. Это, в свою очередь, означает, что график функции лежит с одной стороны от касательной. не меняет знак.

Рис. 4.21

Теорема 2 ( Достаточное условие точки перегиба )

?f??(x) в U(x0) и f??(x0)=0 f?? меняет знак при переходе через точку x0 .

Тогда x0 точка перегиба.

Доказательство. По формуле Тейлора с остатком Лагранжа

.

Следствие. Если  f??(x0)=0 и  f???(x0)? 0, то  x0 – точка перегиба.

Доказательство. При данных условиях f??  будет монотонной, и будет менять знак при переходе через x0 .

4.6.5. Асимптоты функций

Определение. Пусть f определна на полуоси x>c. Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой при x>+? , если .

Пусть f определна на полуоси x < c. Прямая y=ax+b называется наклонной асимптотой при  x>-?, если .

Пример.

В дальнейшем рассматривается лишь случай +?.

Теорема. Пусть f(x) определена на [c,+ ?). Для того, чтобы прямая y=ax+b была асимптотой функции f необходимо и достаточно, чтобы

1)

2)

Пример.

Рис. 4.22

Наклонные асимптоты: в +? линия y= - x+1, в -? линия y = x+1.

Вертикальная асимптота

Функция f определена на (a, a+?). Линия x=a называется вертикальной асимптотой, если , аналогично при x>a - 0.

Для нахождения наклонных асимптот параметрически заданных функций поступают похожим образом. Вначале разыскиваются значения параметра t0 , для которых и . Далее коэффициенты наклонной асимптоты находятся из соотношений

1)

2) (y(t) – a x(t)) = b,

при условии, что указанные пределы существуют.

Для нахождения вертикальной асимптоты вида x=x0 параметрически заданных функций находят t0 такие, что , . Для горизонтальной асимптоты ,

4.6.6. Общая схема построения графиков

Можно рекомендовать следующую последовательность исследования поведения функции.

1° Область определения. Симметрия ( четность, нечетность ). Периодичность.

2° Асимптоты

3° Интервалы монотонности, экстремумы ( заполняется таблица, как показано ниже )