Дифференциальное исчисление (стр. 13 )

=aa(ln a + 1).

7) . Таким образом, ? или .

Доказательство. Обозначим (1+x)? - 1=y, тогда  ? ln(1+x) = ln(1+y).

?.

Пример 3.  Вычислить предел .

.

Отдельно вычислим пределы и

==aa ln a,

=-= =

==-aa.

= aa(ln a - 1).

8) Вычислить предел .

тогда

Поэтому .

9) Непрерывность .

|sin x –sin x0|=2

Непрерывность cos x следует из свойств непрерывных функция: cos x = sin(x+?/2).

Непрерывность тригонометрических функция tg x, ctg x, arcsin, arcos, arctg, arcctg в своих областях определения следует из свойств непрерывных функций. Например, tg x непрерывен для всех кроме точек, в которых имеется разрыв второго рода.

10) f=const,  многочлен Pn(x)=является непрерывными функциями всюду, рациональная функция

непрерывна всюду, кроме нулей знаменателя.

3.5.8.Равномерная непрерывность

Функция f(x), определенная на Х называется равномерно непрерывной на Х, если

??>0??>0?x?,x???X,|x?-x??|<?: |f(x?)-f(x??)|<?.

Непосредственно из определения следует, что всякая равномерно непрерывная функция на Х непрерывна в любой точке этого множества. Здесь предполагается выполненным предусловие непрерывности. Именно, если , то определена хотя бы в проколотой окрестности точки , быть может, односторонней. Обратное, вообще говоря, неверно. То есть, непрерывная на функция не обязана быть равномерно непрерывной на этом множестве. Примером может служить функция Однако, справедлива теорема

Теорема ( Кантор). Всякая непрерывная на [a, b] функция f равномерно непрерывна на [a, b].

Доказательство. От противного.

??0>0??>0? u, v ?[a, b],|u-v|<?:|f(u) - f(u)|??0. Для ?=1/n ? un, vn,| un-vn|<1/n:

|f(un) - f(vn)|??0.                                                                (1)

По теореме Больцано-Вейрштрасса ? = x0?[a, b],  тогда и = x0. В силу непрерывности функции,

. Таким образом,

, что противоречит (1).

Приведем достаточное условие отсутствия равномерной непрерывности функции.

Теорема. Пусть функция непрерывна на и существуют две последовательности из области , сходящиеся к некоторому общему значения и такие, что . Тогда функция не является равномерно непрерывной на .

Доказательство. Для определенности будем считать, что . Выпишем отрицание равномерной непрерывности:

??0>0??>0? u, v ?X,|u-v|<?:|f(u) - f(u)|??0                                (2)

Возьмем и для произвольного выберем  так, чтобы

а) и

б)

Выполнение первого условия для достаточно больших k следует из равенства пределов . Что касается второго условия, то оно может быть получено из условия  из которого и следует выполнение условия б) для достаточно больших номеров. Таким образом, утверждение (2) доказано.

Пример. Воспользуемся доказанной теоремой, чтобы доказать, что функция не является равномерно непрерывной на . В качестве требуемых последовательностей  выберем последовательности: , то есть, , а выберем так, что , то есть Указанные последовательности удовлетворяют условиям теоремы и требуемое утверждение доказано.

Глава 4 Дифференциальное исчисление

4.1 Производная

Производная. Дифференцируемость и дифференциал. Правила дифференцирования, производные элементарных функций.

4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Терминология

?x=x - x0 – приращение аргумента.

?y=? f =f(x) - f(x0) – приращение функции.

Определение.  Производная в точке x0 определяется, как предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю

f?(x0)= =.

Обозначения для производной

Лейбниц,  f?(x0) Лагранж, (x) Ньютон, Df(x0) Коши.