Дифференциальное исчисление (стр. 6 )

                                               (2)

Тогда можно выбрать достаточно большое так, что и . Тогда, при будет выполнено: . Ч. т.д.

2.4. Свойства последовательностей

Операции над последовмтельностями, свойства пределов.

2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями

Определения операций. Сумма двух последовательностей, умножение на число. Сумма двух последовательностей {xk}, {yk} определяется, как {xk +yk}. Произведение последовательности {xk} на число c определяется, как последовательность {c xk}.

Последовательность ?n называется бесконечно малой (б. м.), если .

Последовательность ?n называется бесконечно большой (б. б.), если .

1) если |?n| б. м. , то {?n} б. м.

2)  если ?n, ?n б. м., то {?n+?n} б. м.

Следствие. {?n+?n+…+?n} б. м., если все ?n, ?n,… б. м.

Определение. Произведением двух последовательностей {xk}, {yk} называется последовательность {xkyk}.

3) произведение б. м.последовательности  на ограниченную является б. м. последовательностью.

Следствие. Произведение конечного числа б. м. является б. м..

4) {1/?n} б. б., если {?n} б. м. ?n?0.

Доказательство: Возьмем произвольное , тогда для или Таким образом, , следовательно, последовательность - бесконечно большая.

5) {1/?n} б. м., если {?n} б. б., ?n?0.

6) Ранее отмечалось, что существование конечного предела равносильно существованию б. м. {?n} такой, что

7)  {xn},{yn} сходятся, то сходится {xn+yn} и

Следствие. Свойство 7) распространяется и на конечные суммы.

Замечание. Свойство 7) нарушается, если хотя бы один из пределов равен ±?.

8) {xn},{yn} сходятся, то сходится {xnyn} и .

Доказательство.

Следствие 1.Если {xn} сходятся, то сходится {сxn} и

Следствие 2. xn>a ?

9) xn>a ? |xn|>|a|.

10) xn>a, yn>b, yn?0, b?0 ?

Лемма. Если yn>b, yn?0, b?0, то |1/yn| ограничена.

Доказательство:  , тогда для

Таким образом,

Доказательство свойства 10).

.

Последовательность по лемме ограничена, последовательность - бесконечно малая.

Глава 3. Предел функции. Непрерывность

3.1. Основные понятия, относящиеся к функции

Основные понятия, связанные с функциями. Элементарные функции.

3.1.1. Определение функции. Монотонность. Обратная функция. Суперпозиция

Понятие функции является частным случаем общего понятия отображения.

множества вещественных чисел. Функция определяется, как отображение из X в . X называется областью определения функции. Областью значений функции называется множество всевозможных значений , когда .

Определение. Функция f(x) называется монотонно возрастающей на X, если для . Функция f(x) называется монотонно убывающей на X, если для . Функция f(x) называется строго монотонно возрастающей на X, если для . Функция f(x) называется строго монотонно убывающей на X, если для .

Если различным значениям  x отвечают различные значения y, то ?y?Y?!x?X:f(x)=y.

Полученная зависимость y>x  называется обратной функцией  и обозначается f -1. Область значений прямой функции становится областью определения обратной функции и наоборот, область определения прямой функции превращается в область значений обратной функции.

Теорема. Если f(x) строго монотонна на X и имеет область значений Y, то на Y существует обратная функция .

Для доказательства этого утверждения достаточно отметить выполнение условия единственности x в выражении ?y?Y?!x?X:f(x)=y, которое следует из строгой монотонности функции.

Графиком функции называется геометрическое место точек на плоскости вида: или, что тоже, геометрическое место точек .

Суперпозиция g:T>X, f:X>Y,:T>Y. Пишут также

y = f(g(t)).

3.1.2.Ограниченность. Точные грани

Пусть функция f  определена на X.

Функция ограничена на множестве : ?b?x?X:|f(x)|?b.

Функцияограничена сверху на множестве X. ?b?x?X : f(x)? b.

Функция ограничена снизу на множестве X. ?b?x?X : f(x)? b.

Точная верхняя грань

1.?x?X :f(x)?b

2.??>0?x?X :f(x)>b - ?

Верхняя грань достигается, если ? x?X :f(x)=b.

3.1.3.Элементарные функции

Функции: константа y=const, степенная y=xa, показательная y=ax (a>0),ее обратная, , тригонометрические и их обратные называются основными элементарными функциями.

Всякая функция, полученная применением конечного числа арифметических операций и суперпозиций над основными элементарными функциями называется элементарной функцией.

Примеры: Многочлен n степени

= a0+ a1x+…+ am-1xm-1+ amxm (am?0),

дробно рациональная функция

3.2. Предел функции

Предел функции. Критерий Коши. Локальные свойства функции, связанные с пределами.

3.2.1. Определение предела по Коши

В начале выпишем базовые определения разного типа окрестностей.

Окрестность числа a обозначается U?(a)=(a-?, a+?), ? > 0,

окрестность символа +?  обозначается Ub(+?)=(b,+?) (b – любое число),

окрестность -?  обозначается Ua(-?)=(-?,a) (a – любое число),

окрестность ?  обозначается Uc(?)=(-?,c)?(c,?) (c – любое число).

Проколотая окрестность , a - число.

Проколотая окрестность = Ub(+?).

Проколотая окрестность = Ua(-?).

Проколотая окрестность = Uc(?).